cos(sin−183+sin−1135+sin−16533) is equal to:
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Step-by-Step Solution
Step 1: प्रत्येक sin−1x को tan−1y में बदलें
हम जानते हैं कि sin−1x को tan−1y में बदलने के लिए सूत्र sin−1x=tan−1(1−x2x) का उपयोग किया जाता है। हम इस सूत्र का उपयोग करके दिए गए प्रत्येक sin−1 पद को tan−1 में बदलेंगे।
Step 2: पदों को tan−1 में परिवर्तित करें
पहले पद के लिए, sin−183 को tan−182−323=tan−1553 में बदलते हैं। दूसरे पद के लिए, sin−1135 को tan−1132−525=tan−1125 में बदलते हैं। तीसरे पद के लिए, sin−16533 को tan−1652−33233=tan−15633 में बदलते हैं।
Step 3: पहले दो tan−1 पदों को जोड़ें
हम tan−1x+tan−1y=tan−1(1−xyx+y) सूत्र का उपयोग करके पहले दो tan−1 पदों को जोड़ते हैं।
Step 4: समस्या को सरल करें
अब हम tan−1125 और tan−15633 को जोड़ते हैं। सूत्र का उपयोग करके, हमें tan−1(507676) मिलता है, जिसे सरल करने पर tan−134 प्राप्त होता है।
Step 5: अंतिम tan−1 पद को जोड़ें
अब हम पहले दो पदों के योग और तीसरे पद को जोड़ते हैं।
Step 6: वैकल्पिक दृष्टिकोण: sin−1x+sin−1y सूत्र का उपयोग करें
हम sin−1x+sin−1y=sin−1(x1−y2+y1−x2) सूत्र का उपयोग करके पहले दो sin−1 पदों को जोड़ते हैं।
Step 7: अंतिम परिणाम ज्ञात करें
यह एक जटिल गणना है। एक सरल तरीका यह है कि हम ध्यान दें कि sin−1135+sin−16533 का योग sin−1135+sin−16533=sin−1(1351−(6533)2+65331−(135)2)=sin−1(1356556+65331312)=sin−1(845280+396)=sin−1(845676)=sin−1(54) है।
अब, हमें sin−183+sin−154 का मान ज्ञात करना है।
sin−183+sin−154=sin−1(831−(54)2+541−(83)2)=sin−1(8353+54855)=sin−1(409+455) ।
यह अभी भी जटिल है। एक और तरीका है कि हम sin−183 को α, sin−1135 को β और sin−16533 को γ मानें।
तो sinα=83, cosα=855 ।
sinβ=135, cosβ=1312 ।
sinγ=6533, cosγ=6556 ।
हमें cos(α+β+γ) ज्ञात करना है।
cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=855⋅1312−83⋅135=1041255−15 ।
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=83⋅1312+855⋅135=10436+555 ।
अब cos(α+β+γ)=cos((α+β)+γ)=cos(α+β)cosγ−sin(α+β)sinγ ।
=(1041255−15)(6556)−(10436+555)(6533) ।
यह भी बहुत जटिल है।
एक और तरीका है कि हम sin−183+sin−1135+sin−16533 को θ मानें।
यदि sin−183+sin−1135+sin−16533=2π है, तो cos(2π)=0 होगा।
आइए जांच करें कि क्या यह 2π के बराबर है।
sin−183≈sin−1(0.375)≈22.02∘ ।
sin−1135≈sin−1(0.3846)≈22.62∘ ।
sin−16533≈sin−1(0.5077)≈30.51∘ ।
योग ≈22.02+22.62+30.51=75.15∘ । यह 2π के बराबर नहीं है।
चूंकि sin−1135+sin−16533=sin−154 है, तो हमें cos(sin−183+sin−154) ज्ञात करना है।
माना α=sin−183 और β=sin−154 ।
तो sinα=83 और sinβ=54 ।
cosα=1−(83)2=1−649=6455=855 ।
cosβ=1−(54)2=1−2516=259=53 ।
हमें cos(α+β) ज्ञात करना है।
cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ ।
=855⋅53−83⋅54 ।
=40355−4012 ।
=40355−12 ।