cos⁡(sin⁡−138+sin⁡−1513+sin⁡−13365)\cos \left( \sin^{-1} \frac{3}{8} + \sin^{-1} \frac{5}{13} + \sin^{-1} \frac{33}{65} \right) is equal to:

Answer: 355−1240\frac{3\sqrt{55}-12}{40}

Step-by-step solution

Step 1: प्रत्येक sin⁡−1x\sin^{-1} x को tan⁡−1y\tan^{-1} y में बदलें

हम जानते हैं कि sin⁡−1x\sin^{-1} x को tan⁡−1y\tan^{-1} y में बदलने के लिए सूत्र sin⁡−1x=tan⁡−1(x1−x2)\sin^{-1} x = \tan^{-1} \left( \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \right) का उपयोग किया जाता है। हम इस सूत्र का उपयोग करके दिए गए प्रत्येक sin⁡−1\sin^{-1} पद को tan⁡−1\tan^{-1} में बदलेंगे।

Step 2: पदों को tan⁡−1\tan^{-1} में परिवर्तित करें

पहले पद के लिए, sin⁡−138\sin^{-1} \frac{3}{8} को tan⁡−1382−32=tan⁡−1355\tan^{-1} \frac{3}{\sqrt{8^2-3^2}} = \tan^{-1} \frac{3}{\sqrt{55}} में बदलते हैं। दूसरे पद के लिए, sin⁡−1513\sin^{-1} \frac{5}{13} को tan⁡−15132−52=tan⁡−1512\tan^{-1} \frac{5}{\sqrt{13^2-5^2}} = \tan^{-1} \frac{5}{12} में बदलते हैं। तीसरे पद के लिए, sin⁡−13365\sin^{-1} \frac{33}{65} को tan⁡−133652−332=tan⁡−13356\tan^{-1} \frac{33}{\sqrt{65^2-33^2}} = \tan^{-1} \frac{33}{56} में बदलते हैं।

Step 3: पहले दो tan⁡−1\tan^{-1} पदों को जोड़ें

हम tan⁡−1x+tan⁡−1y=tan⁡−1(x+y1−xy)\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right) सूत्र का उपयोग करके पहले दो tan⁡−1\tan^{-1} पदों को जोड़ते हैं।

Step 4: समस्या को सरल करें

अब हम tan⁡−1512\tan^{-1} \frac{5}{12} और tan⁡−13356\tan^{-1} \frac{33}{56} को जोड़ते हैं। सूत्र का उपयोग करके, हमें tan⁡−1(676507)\tan^{-1} \left( \frac{676}{507} \right) मिलता है, जिसे सरल करने पर tan⁡−143\tan^{-1} \frac{4}{3} प्राप्त होता है।

Step 5: अंतिम tan⁡−1\tan^{-1} पद को जोड़ें

अब हम पहले दो पदों के योग और तीसरे पद को जोड़ते हैं।

Step 6: वैकल्पिक दृष्टिकोण: sin⁡−1x+sin⁡−1y\sin^{-1} x + \sin^{-1} y सूत्र का उपयोग करें

हम sin⁡−1x+sin⁡−1y=sin⁡−1(x1−y2+y1−x2)\sin^{-1} x + \sin^{-1} y = \sin^{-1} \left( x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2} \right) सूत्र का उपयोग करके पहले दो sin⁡−1\sin^{-1} पदों को जोड़ते हैं।

Step 7: अंतिम परिणाम ज्ञात करें

यह एक जटिल गणना है। एक सरल तरीका यह है कि हम ध्यान दें कि sin⁡−1513+sin⁡−13365\sin^{-1} \frac{5}{13} + \sin^{-1} \frac{33}{65} का योग sin⁡−1513+sin⁡−13365=sin⁡−1(5131−(3365)2+33651−(513)2)=sin⁡−1(5135665+33651213)=sin⁡−1(280+396845)=sin⁡−1(676845)=sin⁡−1(45)\sin^{-1} \frac{5}{13} + \sin^{-1} \frac{33}{65} = \sin^{-1} \left( \frac{5}{13}\sqrt{1-\left(\frac{33}{65}\right)^2} + \frac{33}{65}\sqrt{1-\left(\frac{5}{13}\right)^2} \right) = \sin^{-1} \left( \frac{5}{13}\frac{56}{65} + \frac{33}{65}\frac{12}{13} \right) = \sin^{-1} \left( \frac{280+396}{845} \right) = \sin^{-1} \left( \frac{676}{845} \right) = \sin^{-1} \left( \frac{4}{5} \right) है। अब, हमें sin⁡−138+sin⁡−145\sin^{-1} \frac{3}{8} + \sin^{-1} \frac{4}{5} का मान ज्ञात करना है। sin⁡−138+sin⁡−145=sin⁡−1(381−(45)2+451−(38)2)=sin⁡−1(3835+45558)=sin⁡−1(9+45540)\sin^{-1} \frac{3}{8} + \sin^{-1} \frac{4}{5} = \sin^{-1} \left( \frac{3}{8}\sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^2} + \frac{4}{5}\sqrt{1-\left(\frac{3}{8}\right)^2} \right) = \sin^{-1} \left( \frac{3}{8}\frac{3}{5} + \frac{4}{5}\frac{\sqrt{55}}{8} \right) = \sin^{-1} \left( \frac{9+4\sqrt{55}}{40} \right) । यह अभी भी जटिल है। एक और तरीका है कि हम sin⁡−138\sin^{-1} \frac{3}{8} को α\alpha, sin⁡−1513\sin^{-1} \frac{5}{13} को β\beta और sin⁡−13365\sin^{-1} \frac{33}{65} को γ\gamma मानें। तो sin⁡α=38\sin \alpha = \frac{3}{8}, cos⁡α=558\cos \alpha = \frac{\sqrt{55}}{8} । sin⁡β=513\sin \beta = \frac{5}{13}, cos⁡β=1213\cos \beta = \frac{12}{13} । sin⁡γ=3365\sin \gamma = \frac{33}{65}, cos⁡γ=5665\cos \gamma = \frac{56}{65} । हमें cos⁡(α+β+γ)\cos(\alpha+\beta+\gamma) ज्ञात करना है। cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β=558⋅1213−38⋅513=1255−15104\cos(\alpha+\beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = \frac{\sqrt{55}}{8} \cdot \frac{12}{13} - \frac{3}{8} \cdot \frac{5}{13} = \frac{12\sqrt{55}-15}{104} । sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β=38⋅1213+558⋅513=36+555104\sin(\alpha+\beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \frac{3}{8} \cdot \frac{12}{13} + \frac{\sqrt{55}}{8} \cdot \frac{5}{13} = \frac{36+5\sqrt{55}}{104} । अब cos⁡(α+β+γ)=cos⁡((α+β)+γ)=cos⁡(α+β)cos⁡γ−sin⁡(α+β)sin⁡γ\cos(\alpha+\beta+\gamma) = \cos((\alpha+\beta)+\gamma) = \cos(\alpha+\beta)\cos\gamma - \sin(\alpha+\beta)\sin\gamma । =(1255−15104)(5665)−(36+555104)(3365)= \left( \frac{12\sqrt{55}-15}{104} \right) \left( \frac{56}{65} \right) - \left( \frac{36+5\sqrt{55}}{104} \right) \left( \frac{33}{65} \right) । यह भी बहुत जटिल है। एक और तरीका है कि हम sin⁡−138+sin⁡−1513+sin⁡−13365\sin^{-1} \frac{3}{8} + \sin^{-1} \frac{5}{13} + \sin^{-1} \frac{33}{65} को θ\theta मानें। यदि sin⁡−138+sin⁡−1513+sin⁡−13365=π2\sin^{-1} \frac{3}{8} + \sin^{-1} \frac{5}{13} + \sin^{-1} \frac{33}{65} = \frac{\pi}{2} है, तो cos⁡(π2)=0\cos \left( \frac{\pi}{2} \right) = 0 होगा। आइए जांच करें कि क्या यह π2\frac{\pi}{2} के बराबर है। sin⁡−138≈sin⁡−1(0.375)≈22.02∘\sin^{-1} \frac{3}{8} \approx \sin^{-1} (0.375) \approx 22.02^\circ । sin⁡−1513≈sin⁡−1(0.3846)≈22.62∘\sin^{-1} \frac{5}{13} \approx \sin^{-1} (0.3846) \approx 22.62^\circ । sin⁡−13365≈sin⁡−1(0.5077)≈30.51∘\sin^{-1} \frac{33}{65} \approx \sin^{-1} (0.5077) \approx 30.51^\circ । योग ≈22.02+22.62+30.51=75.15∘\approx 22.02 + 22.62 + 30.51 = 75.15^\circ । यह π2\frac{\pi}{2} के बराबर नहीं है। चूंकि sin⁡−1513+sin⁡−13365=sin⁡−145\sin^{-1} \frac{5}{13} + \sin^{-1} \frac{33}{65} = \sin^{-1} \frac{4}{5} है, तो हमें cos⁡(sin⁡−138+sin⁡−145)\cos \left( \sin^{-1} \frac{3}{8} + \sin^{-1} \frac{4}{5} \right) ज्ञात करना है। माना α=sin⁡−138\alpha = \sin^{-1} \frac{3}{8} और β=sin⁡−145\beta = \sin^{-1} \frac{4}{5} । तो sin⁡α=38\sin \alpha = \frac{3}{8} और sin⁡β=45\sin \beta = \frac{4}{5} । cos⁡α=1−(38)2=1−964=5564=558\cos \alpha = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{8}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{64}} = \sqrt{\frac{55}{64}} = \frac{\sqrt{55}}{8} । cos⁡β=1−(45)2=1−1625=925=35\cos \beta = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} । हमें cos⁡(α+β)\cos(\alpha+\beta) ज्ञात करना है। cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha+\beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta । =558⋅35−38⋅45= \frac{\sqrt{55}}{8} \cdot \frac{3}{5} - \frac{3}{8} \cdot \frac{4}{5} । =35540−1240= \frac{3\sqrt{55}}{40} - \frac{12}{40} । =355−1240= \frac{3\sqrt{55}-12}{40} ।

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