अवकल समीकरण d^2y/dx^2 - 5*dy/dx + 6y = 0 का व्यापक हल कीजिए।
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Step-by-Step Solution
Step 1: सहायक समीकरण लिखें
दिए गए द्वितीय-क्रम रैखिक समघातीय अवकल समीकरण के लिए, हम सहायक समीकरण (characteristic equation) लिखते हैं। इसमें \frac{d^2y}{dx^2} को m^2$, \frac{dy}{dx} को m$, और y को 1 से प्रतिस्थापित किया जाता है।
Step 2: सहायक समीकरण को हल करें
अब हम सहायक समीकरण को गुणनखंड विधि से हल करते हैं। मध्य पद -5m को -2m - 3m के रूप में विभाजित करते हैं ताकि हम सामान्य गुणनखंड निकाल सकें।
Step 3: मूल ज्ञात करें
गुणनखंडों को शून्य के बराबर सेट करके, हमें सहायक समीकरण के मूल प्राप्त होते हैं। ये मूल m_1 = 2 और m_2 = 3 हैं।
Step 4: व्यापक हल लिखें
चूंकि मूल वास्तविक और भिन्न हैं (m_1
eq m_2), अवकल समीकरण का व्यापक हल y = C_1 e^{m_1 x} + C_2 e^{m_2 x} के रूप में दिया जाता है, जहाँ C_1 और C_2 स्वेच्छ अचर हैं।