अंशों को गुणा करने पर 3 × 3 = 9 मिलता है, और हरों को गुणा करने पर 5 × 10 = 50 मिलता है। इस प्रकार, P(E) · P(F) = (9)/(50)।

अंशों को गुणा करने पर 3 × 3 = 9 मिलता है, और हरों को गुणा करने पर 5 × 10 = 50 मिलता है। इस प्रकार, P(E) · P(F) = (9)/(50)।

हमें दिया गया है कि P(E F) = (1)/(5)। यदि हम (1)/(5) को (10)/(50) के रूप में लिखते हैं, तो हम देखते हैं कि (10)/(50) ≠ (9)/(50)। चूंकि P(E F) ≠ P(E) · P(F), घटनाएँ E और F स्वतंत्र नहीं हैं।

हमें दिया गया है कि P(E F) = (1)/(5)। यदि हम (1)/(5) को (10)/(50) के रूप में लिखते हैं, तो हम देखते हैं कि (10)/(50) ≠ (9)/(50)। चूंकि P(E F) ≠ P(E) · P(F), घटनाएँ E और F स्वतंत्र नहीं हैं।

मान लें E तथा F दो घटनाएँ इस प्रकार हैं कि $P(E)=\frac{3}{5}, P(F)=\frac{3}{10}$ और $P(E \cap F)=\frac{1}{5}$ तब क्या E तथा F स्वतंत्र हैं?

उत्तर: नहीं, घटनाएँ E तथा F स्वतंत्र नहीं हैं।

चरण-दर-चरण हल

चरण 1: स्वतंत्र घटनाओं की शर्त की जाँच करें

दो घटनाएँ $E$ और $F$ स्वतंत्र कहलाती हैं यदि उनके प्रतिच्छेदन की प्रायिकता (दोनों घटनाओं के एक साथ घटित होने की प्रायिकता) उनकी व्यक्तिगत प्रायिकताओं के गुणनफल के बराबर हो। हमें यह जाँचने की आवश्यकता है कि क्या दी गई प्रायिकताएँ इस शर्त को पूरा करती हैं।

चरण 2: दी गई प्रायिकताओं का उपयोग करें

समस्या में हमें घटना $E$ की प्रायिकता P(E), घटना $F$ की प्रायिकता P(F), और घटनाओं $E$ और $F$ के प्रतिच्छेदन की प्रायिकता $P(E \cap F)$ दी गई है।

चरण 3: प्रायिकताओं का गुणनफल ज्ञात करें

अब हम P(E) और P(F) के गुणनफल की गणना करेंगे। यह हमें यह निर्धारित करने में मदद करेगा कि क्या यह मान $P(E \cap F)$ के बराबर है।

चरण 4: गुणनफल की गणना करें

अंशों को गुणा करने पर $3 \times 3 = 9$ मिलता है, और हरों को गुणा करने पर $5 \times 10 = 50$ मिलता है। इस प्रकार, $P(E) \cdot P(F) = \frac{9}{50}$ ।

चरण 5: स्वतंत्रता की शर्त की तुलना करें

हमें दिया गया है कि $P(E \cap F) = \frac{1}{5}$ । यदि हम $\frac{1}{5}$ को $\frac{10}{50}$ के रूप में लिखते हैं, तो हम देखते हैं कि $\frac{10}{50} \neq \frac{9}{50}$ । चूंकि $P(E \cap F) \neq P(E) \cdot P(F)$ , घटनाएँ $E$ और $F$ स्वतंत्र नहीं हैं।

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