चूंकि z=1 एक साधारण ध्रुव है, हम अवशेष की गणना सूत्र Res(f, a) = lim_z → a (z - a) f(z) का उपयोग करके कर सकते हैं। z=1 पर, यह lim_z → 1 (z - 1) (z² + 1)/((z - 1)(z + 1)) बन जाता है। (z-1) पद रद्द हो जाता है, और हमें lim_z → 1 (z² + 1)/(z + 1) मिलता है। z=1 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें (1² + 1)/(1 + 1) = (2)/(2) = 1 मिलता है।

चूंकि z=1 एक साधारण ध्रुव है, हम अवशेष की गणना सूत्र Res(f, a) = lim_z → a (z - a) f(z) का उपयोग करके कर सकते हैं। z=1 पर, यह lim_z → 1 (z - 1) (z² + 1)/((z - 1)(z + 1)) बन जाता है। (z-1) पद रद्द हो जाता है, और हमें lim_z → 1 (z² + 1)/(z + 1) मिलता है। z=1 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें (1² + 1)/(1 + 1) = (2)/(2) = 1 मिलता है।

इसी तरह, z=-1 भी एक साधारण ध्रुव है। हम उसी सूत्र का उपयोग करते हैं: Res(f, -1) = lim_z → -1 (z - (-1)) (z² + 1)/((z - 1)(z + 1))। (z+1) पद रद्द हो जाता है, और हमें lim_z → -1 (z² + 1)/(z - 1) मिलता है। z=-1 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें ((-1)² + 1)/(-1 - 1) = (1 + 1)/(-2) = (2)/(-2) = -1 मिलता है।

इसी तरह, z=-1 भी एक साधारण ध्रुव है। हम उसी सूत्र का उपयोग करते हैं: Res(f, -1) = lim_z → -1 (z - (-1)) (z² + 1)/((z - 1)(z + 1))। (z+1) पद रद्द हो जाता है, और हमें lim_z → -1 (z² + 1)/(z - 1) मिलता है। z=-1 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें ((-1)² + 1)/(-1 - 1) = (1 + 1)/(-2) = (2)/(-2) = -1 मिलता है।

Evaluate ∮_C (z² + 1)/(z² - 1) dz where C is the circle |z| = 3 using residue theorem.

Answer: $\oint_C \frac{z^2 + 1}{z^2 - 1} dz = 0$

Step-by-step solution

Step 1: फलन के ध्रुवों को ज्ञात करें

सबसे पहले, हमें दिए गए फलन $f(z) = \frac{z^2 + 1}{z^2 - 1}$ के ध्रुवों (poles) को ज्ञात करना होगा। ध्रुव वे बिंदु होते हैं जहाँ हर शून्य होता है। हर को शून्य के बराबर रखने पर, हमें $z^2 - 1 = 0$ मिलता है, जिसे $(z-1)(z+1) = 0$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। इससे हमें $z = 1$ और $z = -1$ पर ध्रुव मिलते हैं।

Step 2: ध्रुवों की स्थिति की जाँच करें

अब, हमें यह जांचना होगा कि ये ध्रुव दिए गए वृत्त $C: |z| = 3$ के अंदर स्थित हैं या नहीं। ध्रुव $z = 1$ के लिए, $|1| = 1$ , जो $3$ से कम है। ध्रुव $z = -1$ के लिए, $|-1| = 1$ , जो $3$ से कम है। चूंकि दोनों ध्रुव वृत्त के अंदर स्थित हैं, हमें दोनों ध्रुवों पर अवशेष (residues) की गणना करनी होगी।

Step 3: ध्रुव $z=1$ पर अवशेष की गणना करें

चूंकि $z=1$ एक साधारण ध्रुव है, हम अवशेष की गणना सूत्र $\text{Res}(f, a) = \lim_{z \to a} (z - a) f(z)$ का उपयोग करके कर सकते हैं। $z=1$ पर, यह $\lim_{z \to 1} (z - 1) \frac{z^2 + 1}{(z - 1)(z + 1)}$ बन जाता है। $(z-1)$ पद रद्द हो जाता है, और हमें $\lim_{z \to 1} \frac{z^2 + 1}{z + 1}$ मिलता है। $z=1$ को प्रतिस्थापित करने पर, हमें $\frac{1^2 + 1}{1 + 1} = \frac{2}{2} = 1$ मिलता है।

Step 4: ध्रुव $z=-1$ पर अवशेष की गणना करें

इसी तरह, $z=-1$ भी एक साधारण ध्रुव है। हम उसी सूत्र का उपयोग करते हैं: $\text{Res}(f, -1) = \lim_{z \to -1} (z - (-1)) \frac{z^2 + 1}{(z - 1)(z + 1)}$ । $(z+1)$ पद रद्द हो जाता है, और हमें $\lim_{z \to -1} \frac{z^2 + 1}{z - 1}$ मिलता है। $z=-1$ को प्रतिस्थापित करने पर, हमें $\frac{(-1)^2 + 1}{-1 - 1} = \frac{1 + 1}{-2} = \frac{2}{-2} = -1$ मिलता है।

Step 5: अवशेष प्रमेय का उपयोग करके समाकल का मूल्यांकन करें

अवशेष प्रमेय के अनुसार, एक बंद वक्र $C$ के साथ एक फलन $f(z)$ का समाकल $2\pi i$ गुणा वक्र के अंदर स्थित सभी ध्रुवों पर अवशेषों के योग के बराबर होता है। इस मामले में, अवशेषों का योग $1 + (-1) = 0$ है। इसलिए, समाकल $2\pi i \times 0 = 0$ है।

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