Evaluate ∮_C (z² + 1)/(z² - 1) dz where C is the circle |z| = 3 using residue theorem.
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Step-by-Step Solution
Step 1: फलन के ध्रुवों को ज्ञात करें
सबसे पहले, हमें दिए गए फलन f(z)=z2−1z2+1 के ध्रुवों (poles) को ज्ञात करना होगा। ध्रुव वे बिंदु होते हैं जहाँ हर शून्य होता है। हर को शून्य के बराबर रखने पर, हमें z2−1=0 मिलता है, जिसे (z−1)(z+1)=0 के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है। इससे हमें z=1 और z=−1 पर ध्रुव मिलते हैं।
Step 2: ध्रुवों की स्थिति की जाँच करें
अब, हमें यह जांचना होगा कि ये ध्रुव दिए गए वृत्त C:∣z∣=3 के अंदर स्थित हैं या नहीं। ध्रुव z=1 के लिए, ∣1∣=1, जो 3 से कम है। ध्रुव z=−1 के लिए, ∣−1∣=1, जो 3 से कम है। चूंकि दोनों ध्रुव वृत्त के अंदर स्थित हैं, हमें दोनों ध्रुवों पर अवशेष (residues) की गणना करनी होगी।
Step 3: ध्रुव z=1 पर अवशेष की गणना करें
चूंकि z=1 एक साधारण ध्रुव है, हम अवशेष की गणना सूत्र Res(f,a)=limz→a(z−a)f(z) का उपयोग करके कर सकते हैं। z=1 पर, यह limz→1(z−1)(z−1)(z+1)z2+1 बन जाता है। (z−1) पद रद्द हो जाता है, और हमें limz→1z+1z2+1 मिलता है। z=1 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें 1+112+1=22=1 मिलता है।
Step 4: ध्रुव z=−1 पर अवशेष की गणना करें
इसी तरह, z=−1 भी एक साधारण ध्रुव है। हम उसी सूत्र का उपयोग करते हैं: Res(f,−1)=limz→−1(z−(−1))(z−1)(z+1)z2+1 । (z+1) पद रद्द हो जाता है, और हमें limz→−1z−1z2+1 मिलता है। z=−1 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें −1−1(−1)2+1=−21+1=−22=−1 मिलता है।
Step 5: अवशेष प्रमेय का उपयोग करके समाकल का मूल्यांकन करें
अवशेष प्रमेय के अनुसार, एक बंद वक्र C के साथ एक फलन f(z) का समाकल 2πi गुणा वक्र के अंदर स्थित सभी ध्रुवों पर अवशेषों के योग के बराबर होता है। इस मामले में, अवशेषों का योग 1+(−1)=0 है। इसलिए, समाकल 2πi×0=0 है।