Evaluate: (i) lim⁡x→1x15−1x10−1\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{15}-1}{x^{10}-1} (ii) lim⁡x→01+x−1x\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}-1}{x}

Answer: (i) 32\frac{3}{2} \\ (ii) 12\frac{1}{2}

Step-by-step solution

Step 1: पहले भाग का मूल्यांकन करें (i)

पहले भाग में, हमें lim⁡x→1x15−1x10−1\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{15}-1}{x^{10}-1} का मूल्यांकन करना है। यह 00\frac{0}{0} का एक अनिश्चित रूप है। हम सीमा के सूत्र lim⁡x→axn−anx−a=nan−1\lim _{x \rightarrow a} \frac{x^{n}-a^{n}}{x-a} = n a^{n-1} का उपयोग कर सकते हैं।

Step 2: सूत्र का प्रयोग करें

हम अंश और हर दोनों को (x−1)(x-1) से विभाजित करके सूत्र लागू कर सकते हैं। इससे हमें दो अलग-अलग सीमाएँ मिलती हैं जिन्हें हम सूत्र का उपयोग करके हल कर सकते हैं।

Step 3: सीमाओं का मूल्यांकन करें

सूत्र लागू करने पर, हमें अंश के लिए 15⋅114=1515 \cdot 1^{14} = 15 और हर के लिए 10⋅19=1010 \cdot 1^{9} = 10 मिलता है। इन मानों को सरल बनाने पर हमें 32\frac{3}{2} मिलता है।

Step 4: दूसरे भाग का मूल्यांकन करें (ii)

दूसरे भाग में, हमें lim⁡x→01+x−1x\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x}-1}{x} का मूल्यांकन करना है। यह भी 00\frac{0}{0} का एक अनिश्चित रूप है। हम अंश को उसके संयुग्मी से गुणा करके इसे हल कर सकते हैं।

Step 5: संयुग्मी से गुणा करें

अंश को उसके संयुग्मी (1+x+1)(\sqrt{1+x}+1) से गुणा करने पर, हमें अंश में (1+x)−1(1+x)-1 मिलता है, जो xx के बराबर है।

Step 6: सरल करें और सीमा का मूल्यांकन करें

xx को रद्द करने के बाद, हम x=0x=0 को प्रतिस्थापित कर सकते हैं। इससे हमें 11+0+1=11+1=12\frac{1}{\sqrt{1+0}+1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2} मिलता है।

Solve your own maths question free →