Evaluate:
(i) limx→1x10−1x15−1
(ii) limx→0x1+x−1
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Step-by-Step Solution
Step 1: पहले भाग का मूल्यांकन करें (i)
पहले भाग में, हमें limx→1x10−1x15−1 का मूल्यांकन करना है। यह 00 का एक अनिश्चित रूप है। हम सीमा के सूत्र limx→ax−axn−an=nan−1 का उपयोग कर सकते हैं।
Step 2: सूत्र का प्रयोग करें
हम अंश और हर दोनों को (x−1) से विभाजित करके सूत्र लागू कर सकते हैं। इससे हमें दो अलग-अलग सीमाएँ मिलती हैं जिन्हें हम सूत्र का उपयोग करके हल कर सकते हैं।
Step 3: सीमाओं का मूल्यांकन करें
सूत्र लागू करने पर, हमें अंश के लिए 15⋅114=15 और हर के लिए 10⋅19=10 मिलता है। इन मानों को सरल बनाने पर हमें 23 मिलता है।
Step 4: दूसरे भाग का मूल्यांकन करें (ii)
दूसरे भाग में, हमें limx→0x1+x−1 का मूल्यांकन करना है। यह भी 00 का एक अनिश्चित रूप है। हम अंश को उसके संयुग्मी से गुणा करके इसे हल कर सकते हैं।
Step 5: संयुग्मी से गुणा करें
अंश को उसके संयुग्मी (1+x+1) से गुणा करने पर, हमें अंश में (1+x)−1 मिलता है, जो x के बराबर है।
Step 6: सरल करें और सीमा का मूल्यांकन करें
x को रद्द करने के बाद, हम x=0 को प्रतिस्थापित कर सकते हैं। इससे हमें 1+0+11=1+11=21 मिलता है।