जब n → ∞ होता है, तो (k)/(n) बहुत छोटा हो जाता है। इसलिए, हम √(1 + ((k)/(n))²) के लिए द्विपद सन्निकटन (1+x)^a ≈ 1 + ax + (a(a-1))/(2!)x² + का उपयोग कर सकते हैं, जहाँ x = ((k)/(n))² और a = (1)/(2) है।

जब n → ∞ होता है, तो (k)/(n) बहुत छोटा हो जाता है। इसलिए, हम √(1 + ((k)/(n))²) के लिए द्विपद सन्निकटन (1+x)^a ≈ 1 + ax + (a(a-1))/(2!)x² + का उपयोग कर सकते हैं, जहाँ x = ((k)/(n))² और a = (1)/(2) है।

सरल करने के बाद, हम योग को रीमैन योग के रूप में पहचानते हैं। यहाँ, (k)/(n) x का प्रतिनिधित्व करता है और (1)/(n) dx का प्रतिनिधित्व करता है। योग k=1 से n तक चलता है, जिसका अर्थ है कि x 0 से 1 तक चलता है।

सरल करने के बाद, हम योग को रीमैन योग के रूप में पहचानते हैं। यहाँ, (k)/(n) x का प्रतिनिधित्व करता है और (1)/(n) dx का प्रतिनिधित्व करता है। योग k=1 से n तक चलता है, जिसका अर्थ है कि x 0 से 1 तक चलता है।

अब हम निश्चित समाकल का मूल्यांकन करते हैं। x² का समाकल (x³)/(3) है। हम ऊपरी और निचली सीमाओं को प्रतिस्थापित करते हैं और परिणामी मानों को घटाते हैं।

अब हम निश्चित समाकल का मूल्यांकन करते हैं। x² का समाकल (x³)/(3) है। हम ऊपरी और निचली सीमाओं को प्रतिस्थापित करते हैं और परिणामी मानों को घटाते हैं।

Evaluate lim(n→∞) Σ( $k=1$ to n) [√(n² + k²) - n].

Answer: $\frac{1}{6}$

Step-by-step solution

Step 1: योग को पुनर्व्यवस्थित करें

सबसे पहले, हम योग के अंदर के पद को सरल बनाते हैं। हम $n^2$ को वर्गमूल के अंदर से बाहर निकालते हैं, जिससे यह $n$ बन जाता है। यह हमें $n$ को पूरे पद से बाहर निकालने की अनुमति देता है, जिससे $\frac{k}{n}$ के रूप में एक पद बनता है।

Step 2: द्विपद सन्निकटन का प्रयोग करें

जब $n \to \infty$ होता है, तो $\frac{k}{n}$ बहुत छोटा हो जाता है। इसलिए, हम $\sqrt{1 + \left(\frac{k}{n}\right)^2}$ के लिए द्विपद सन्निकटन $(1+x)^a \approx 1 + ax + \frac{a(a-1)}{2!}x^2 + \dots$ का उपयोग कर सकते हैं, जहाँ $x = \left(\frac{k}{n}\right)^2$ और $a = \frac{1}{2}$ है।

Step 3: द्विपद सन्निकटन लागू करें

द्विपद सन्निकटन को लागू करने पर, हम देखते हैं कि $1$ और $-1$ रद्द हो जाते हैं। हम उच्च-घात वाले पदों को छोड़ सकते हैं क्योंकि $n \to \infty$ होने पर वे शून्य की ओर अग्रसर होते हैं।

Step 4: सरल करें और योग को रीमैन योग में बदलें

सरल करने के बाद, हम योग को रीमैन योग के रूप में पहचानते हैं। यहाँ, $\frac{k}{n}$ $x$ का प्रतिनिधित्व करता है और $\frac{1}{n}$ $dx$ का प्रतिनिधित्व करता है। योग $k=1$ से $n$ तक चलता है, जिसका अर्थ है कि $x$ $0$ से $1$ तक चलता है।

Step 5: निश्चित समाकल का मूल्यांकन करें

अब हम निश्चित समाकल का मूल्यांकन करते हैं। $x^2$ का समाकल $\frac{x^3}{3}$ है। हम ऊपरी और निचली सीमाओं को प्रतिस्थापित करते हैं और परिणामी मानों को घटाते हैं।

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Evaluate lim(n→∞) Σ(k=1k=1k=1 to n) [√(n² + k²) - n].