Evaluate lim(n→∞) Σ(k=1 to n) [√(n² + k²) - n].
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Step-by-Step Solution
Step 1: योग को पुनर्व्यवस्थित करें
सबसे पहले, हम योग के अंदर के पद को सरल बनाते हैं। हम n2 को वर्गमूल के अंदर से बाहर निकालते हैं, जिससे यह n बन जाता है। यह हमें n को पूरे पद से बाहर निकालने की अनुमति देता है, जिससे nk के रूप में एक पद बनता है।
Step 2: द्विपद सन्निकटन का प्रयोग करें
जब n→∞ होता है, तो nk बहुत छोटा हो जाता है। इसलिए, हम 1+(nk)2 के लिए द्विपद सन्निकटन (1+x)a≈1+ax+2a(a−1)!x2+… का उपयोग कर सकते हैं, जहाँ x=(nk)2 और a=21 है।
Step 3: द्विपद सन्निकटन लागू करें
द्विपद सन्निकटन को लागू करने पर, हम देखते हैं कि 1 और −1 रद्द हो जाते हैं। हम उच्च-घात वाले पदों को छोड़ सकते हैं क्योंकि n→∞ होने पर वे शून्य की ओर अग्रसर होते हैं।
Step 4: सरल करें और योग को रीमैन योग में बदलें
सरल करने के बाद, हम योग को रीमैन योग के रूप में पहचानते हैं। यहाँ, nk x का प्रतिनिधित्व करता है और n1 dx का प्रतिनिधित्व करता है। योग k=1 से n तक चलता है, जिसका अर्थ है कि x 0 से 1 तक चलता है।
Step 5: निश्चित समाकल का मूल्यांकन करें
अब हम निश्चित समाकल का मूल्यांकन करते हैं। x2 का समाकल 3x3 है। हम ऊपरी और निचली सीमाओं को प्रतिस्थापित करते हैं और परिणामी मानों को घटाते हैं।