Evaluate the double integral ∬∫∫_D e^(x²+y²) dx dy where D is the disk x² + y² ≤ 4.
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Step-by-Step Solution
Step 1: समस्या को पहचानें और ध्रुवीय निर्देशांकों में बदलें
हमें दिए गए समाकल ∬Dex2+y2dxdy का मूल्यांकन करना है, जहाँ D डिस्क x2+y2≤4 है। चूंकि समाकल्य और समाकलन का क्षेत्र दोनों वृत्ताकार समरूपता दिखाते हैं, इसलिए ध्रुवीय निर्देशांकों में बदलना सबसे आसान तरीका है। हम x2+y2=r2 और dxdy=rdrdθ का उपयोग करते हैं।
Step 2: समाकलन की सीमाएँ निर्धारित करें
डिस्क x2+y2≤4 का अर्थ है कि r2≤4, इसलिए 0≤r≤2 । एक पूर्ण डिस्क के लिए, कोण θ 0 से 2π तक होता है।
Step 3: ध्रुवीय निर्देशांकों में समाकल को लिखें
अब हम मूल समाकल को ध्रुवीय निर्देशांकों में व्यक्त करते हैं। ex2+y2 बन जाता है er2 और dxdy बन जाता है rdrdθ ।
Step 4: आंतरिक समाकल का मूल्यांकन करें
हम आंतरिक समाकल का मूल्यांकन r के संबंध में करते हैं। प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करें: u=r2, तो du=2rdr, जिसका अर्थ है rdr=21du । जब r=0, u=0 और जब r=2, u=4 ।
Step 5: प्रतिस्थापन के साथ आंतरिक समाकल का मूल्यांकन करें
प्रतिस्थापन के बाद, समाकल 21∫04eudu बन जाता है। eu का समाकल eu है। सीमाओं को लागू करने पर हमें 21(e4−e0)=21(e4−1) मिलता है।
Step 6: बाहरी समाकल का मूल्यांकन करें
अब हम बाहरी समाकल का मूल्यांकन θ के संबंध में करते हैं। चूंकि आंतरिक समाकल का परिणाम θ पर निर्भर नहीं करता है, यह एक स्थिरांक है जिसे समाकल से बाहर निकाला जा सकता है।