डिस्क x² + y² ≤ 4 का अर्थ है कि r² ≤ 4, इसलिए 0 ≤ r ≤ 2। एक पूर्ण डिस्क के लिए, कोण θ 0 से 2π तक होता है।

डिस्क x² + y² ≤ 4 का अर्थ है कि r² ≤ 4, इसलिए 0 ≤ r ≤ 2। एक पूर्ण डिस्क के लिए, कोण θ 0 से 2π तक होता है।

अब हम मूल समाकल को ध्रुवीय निर्देशांकों में व्यक्त करते हैं। e^x²+y² बन जाता है e^r² और dx dy बन जाता है r dr dθ।

अब हम मूल समाकल को ध्रुवीय निर्देशांकों में व्यक्त करते हैं। e^x²+y² बन जाता है e^r² और dx dy बन जाता है r dr dθ।

हम आंतरिक समाकल का मूल्यांकन r के संबंध में करते हैं। प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करें: u = r², तो du = 2r dr, जिसका अर्थ है r dr = (1)/(2) du। जब r=0, u=0 और जब r=2, u=4।

हम आंतरिक समाकल का मूल्यांकन r के संबंध में करते हैं। प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करें: u = r², तो du = 2r dr, जिसका अर्थ है r dr = (1)/(2) du। जब r=0, u=0 और जब r=2, u=4।

अब हम बाहरी समाकल का मूल्यांकन θ के संबंध में करते हैं। चूंकि आंतरिक समाकल का परिणाम θ पर निर्भर नहीं करता है, यह एक स्थिरांक है जिसे समाकल से बाहर निकाला जा सकता है।

अब हम बाहरी समाकल का मूल्यांकन θ के संबंध में करते हैं। चूंकि आंतरिक समाकल का परिणाम θ पर निर्भर नहीं करता है, यह एक स्थिरांक है जिसे समाकल से बाहर निकाला जा सकता है।

Evaluate the double integral ∬∫∫_D e^(x²+y²) dx dy where D is the disk x² + y² ≤ 4.

Answer: $\pi (e^4 - 1)$

Step-by-step solution

Step 1: समस्या को पहचानें और ध्रुवीय निर्देशांकों में बदलें

हमें दिए गए समाकल $\iint_D e^{x^2+y^2}\,dx\,dy$ का मूल्यांकन करना है, जहाँ $D$ डिस्क $x^2 + y^2 \le 4$ है। चूंकि समाकल्य और समाकलन का क्षेत्र दोनों वृत्ताकार समरूपता दिखाते हैं, इसलिए ध्रुवीय निर्देशांकों में बदलना सबसे आसान तरीका है। हम $x^2 + y^2 = r^2$ और $dx\,dy = r\,dr\,d\theta$ का उपयोग करते हैं।

Step 2: समाकलन की सीमाएँ निर्धारित करें

डिस्क $x^2 + y^2 \le 4$ का अर्थ है कि $r^2 \le 4$ , इसलिए $0 \le r \le 2$ । एक पूर्ण डिस्क के लिए, कोण $\theta$ $0$ से $2\pi$ तक होता है।

Step 3: ध्रुवीय निर्देशांकों में समाकल को लिखें

अब हम मूल समाकल को ध्रुवीय निर्देशांकों में व्यक्त करते हैं। $e^{x^2+y^2}$ बन जाता है $e^{r^2}$ और $dx\,dy$ बन जाता है $r\,dr\,d\theta$ ।

Step 4: आंतरिक समाकल का मूल्यांकन करें

हम आंतरिक समाकल का मूल्यांकन $r$ के संबंध में करते हैं। प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करें: $u = r^2$ , तो $du = 2r\,dr$ , जिसका अर्थ है $r\,dr = \frac{1}{2}\,du$ । जब $r=0$ , $u=0$ और जब $r=2$ , $u=4$ ।

Step 5: प्रतिस्थापन के साथ आंतरिक समाकल का मूल्यांकन करें

प्रतिस्थापन के बाद, समाकल $\frac{1}{2} \int_0^4 e^u\,du$ बन जाता है। $e^u$ का समाकल $e^u$ है। सीमाओं को लागू करने पर हमें $\frac{1}{2} (e^4 - e^0) = \frac{1}{2} (e^4 - 1)$ मिलता है।

Step 6: बाहरी समाकल का मूल्यांकन करें

अब हम बाहरी समाकल का मूल्यांकन $\theta$ के संबंध में करते हैं। चूंकि आंतरिक समाकल का परिणाम $\theta$ पर निर्भर नहीं करता है, यह एक स्थिरांक है जिसे समाकल से बाहर निकाला जा सकता है।

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