Examine each of the following relations given below and state in each case, giving reasons whether it is a function or not?
(i) R={(2,1),(3,1),(4,2)}, (ii) R={(2,2),(2,4),(3,3),(4,4)}
(iii) R={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7)}
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Step-by-Step Solution
Step 1: फलन की परिभाषा
एक संबंध को फलन तब कहा जाता है जब उसके प्रांत (डोमेन) के प्रत्येक अवयव का सह-प्रांत (को-डोमेन) में केवल एक अद्वितीय प्रतिबिंब (इमेज) हो। इसका मतलब है कि प्रांत के किसी भी अवयव को दो अलग-अलग प्रतिबिंब नहीं होने चाहिए।
Step 2: संबंध (i) का विश्लेषण
दिए गए संबंध R={(2,1),(3,1),(4,2)} में, प्रांत के अवयव 2, 3 और 4 हैं। अवयव 2 का प्रतिबिंब 1 है, अवयव 3 का प्रतिबिंब 1 है, और अवयव 4 का प्रतिबिंब 2 है। प्रांत के प्रत्येक अवयव का केवल एक अद्वितीय प्रतिबिंब है।
Step 3: संबंध (ii) का विश्लेषण
दिए गए संबंध R={(2,2),(2,4),(3,3),(4,4)} में, प्रांत का अवयव 2 के दो प्रतिबिंब हैं: 2 और 4। चूंकि प्रांत के एक अवयव के दो अलग-अलग प्रतिबिंब हैं, इसलिए यह संबंध एक फलन नहीं है।
Step 4: संबंध (iii) का विश्लेषण
दिए गए संबंध R={(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7)} में, प्रांत के अवयव 1, 2, 3, 4, 5 और 6 हैं। प्रत्येक अवयव का केवल एक अद्वितीय प्रतिबिंब है (जैसे 1 का प्रतिबिंब 2 है, 2 का प्रतिबिंब 3 है, आदि)।