EXTENSION: Find all values of k for which the equation (k-2)variable_95² - 2(k-1)variable_95 + k=0 has equal roots. Additionally, generalize your solution to n dimensions.
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Step-by-Step Solution
Step 1: समान मूलों के लिए शर्त
एक द्विघात समीकरण ax2+bx+c=0 के मूल समान होते हैं यदि उसका विविक्तकर (discriminant) D शून्य के बराबर हो। यहाँ, a=(k−2), b=−2(k−1), और c=k है।
Step 2: विविक्तकर की गणना
अब हम दिए गए समीकरण के गुणांकों का उपयोग करके विविक्तकर के सूत्र में मान प्रतिस्थापित करेंगे।
Step 3: समीकरण को सरल करना
हम वर्ग और गुणनफल का विस्तार करते हैं, फिर समान पदों को एक साथ समूहित करते हैं। इससे हमें 4=0 मिलता है, जो एक असत्य कथन है।
Step 4: परिणाम का विश्लेषण
चूंकि हमें 4=0 मिला है, जो कि एक विरोधाभास है, इसका मतलब है कि k का कोई भी वास्तविक मान नहीं है जिसके लिए दिए गए द्विघात समीकरण के मूल समान हों।
Step 5: n आयामों तक सामान्यीकरण
द्विघात समीकरण और उसके मूलों की अवधारणा एक-आयामी समस्याओं के लिए विशिष्ट है। 'समान मूल' की अवधारणा सीधे तौर पर n आयामों में सामान्यीकृत नहीं होती है, क्योंकि n आयामों में समीकरणों की प्रणालियों के लिए 'मूल' की परिभाषा अलग होती है और इसमें विविक्तकर जैसा कोई सीधा एनालॉग नहीं होता है।