EXTENSION: Find all values of k for which the equation $(k-2)$ variable_95² - 2(k-1)variable_95 + $k = 0$ has equal roots. Additionally, generalize your solution to n dimensions.

Answer: कोई वास्तविक मान $k$ मौजूद नहीं है जिसके लिए दिए गए समीकरण के मूल समान हों। 'समान मूल' की अवधारणा सीधे तौर पर $n$ आयामों तक सामान्यीकृत नहीं होती है।

Step-by-step solution

Step 1: समान मूलों के लिए शर्त

एक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल समान होते हैं यदि उसका विविक्तकर (discriminant) $D$ शून्य के बराबर हो। यहाँ, $a = (k-2)$ , $b = -2(k-1)$ , और $c = k$ है।

Step 2: विविक्तकर की गणना

अब हम दिए गए समीकरण के गुणांकों का उपयोग करके विविक्तकर के सूत्र में मान प्रतिस्थापित करेंगे।

Step 3: समीकरण को सरल करना

हम वर्ग और गुणनफल का विस्तार करते हैं, फिर समान पदों को एक साथ समूहित करते हैं। इससे हमें $4 = 0$ मिलता है, जो एक असत्य कथन है।

Step 4: परिणाम का विश्लेषण

चूंकि हमें $4 = 0$ मिला है, जो कि एक विरोधाभास है, इसका मतलब है कि $k$ का कोई भी वास्तविक मान नहीं है जिसके लिए दिए गए द्विघात समीकरण के मूल समान हों।

Step 5: n आयामों तक सामान्यीकरण

द्विघात समीकरण और उसके मूलों की अवधारणा एक-आयामी समस्याओं के लिए विशिष्ट है। 'समान मूल' की अवधारणा सीधे तौर पर $n$ आयामों में सामान्यीकृत नहीं होती है, क्योंकि $n$ आयामों में समीकरणों की प्रणालियों के लिए 'मूल' की परिभाषा अलग होती है और इसमें विविक्तकर जैसा कोई सीधा एनालॉग नहीं होता है।

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EXTENSION: Find all values of k for which the equation (k−2)(k-2)(k−2) variable_95² - 2(k-1)variable_95 + k=0k = 0k=0 has equal roots. Additionally, generalize your solution to n dimensions.