EXTENSION: Find the volume of the solid generated by revolving the region bounded by y=x3,y=0y = x³, y = 0 and x=2x = 2 about the y-axis using the washer method. Additionally, generalize

Answer: ठोस का आयतन 64π5\frac{64\pi}{5} घन इकाई है।

Step-by-step solution

Step 1: क्षेत्र को समझना और सीमाएँ निर्धारित करना

हमें दिए गए वक्रों y=x3y = x^3, y=0y = 0 (जो xx -अक्ष है), और x=2x = 2 से घिरे क्षेत्र को yy -अक्ष के चारों ओर घुमाना है। वॉशर विधि का उपयोग करने के लिए, हमें समाकलन yy के संबंध में करना होगा। इसलिए, हमें xx को yy के फलन के रूप में व्यक्त करना होगा, जो x=y1/3x = y^{1/3} है।

Step 2: समाकलन की सीमाएँ ज्ञात करना

चूंकि हम yy -अक्ष के चारों ओर घुमा रहे हैं, हमें yy के लिए समाकलन की सीमाएँ निर्धारित करनी होंगी। y=0y = 0 निचली सीमा है। जब x=2x = 2 होता है, तो y=23=8y = 2^3 = 8 होता है, जो ऊपरी सीमा है।

Step 3: वॉशर विधि का सूत्र स्थापित करना

वॉशर विधि का उपयोग करके आयतन ज्ञात करने का सूत्र V=π∫y1y2(R(y)2−r(y)2)dyV = \pi \int_{y_1}^{y_2} (R(y)^2 - r(y)^2) dy है, जहाँ R(y)R(y) बाहरी त्रिज्या है और r(y)r(y) आंतरिक त्रिज्या है। इस मामले में, बाहरी त्रिज्या x=2x = 2 है, इसलिए R(y)=2R(y) = 2 । आंतरिक त्रिज्या x=y1/3x = y^{1/3} है, इसलिए r(y)=y1/3r(y) = y^{1/3} ।

Step 4: समाकलन स्थापित करना

अब हम सूत्र में R(y)R(y), r(y)r(y) और समाकलन की सीमाओं को प्रतिस्थापित करते हैं। यह हमें V=π∫08(4−y2/3)dyV = \pi \int_{0}^{8} (4 - y^{2/3}) dy देता है।

Step 5: समाकलन का मूल्यांकन करना

हम समाकलन को हल करते हैं और ऊपरी और निचली सीमाओं को प्रतिस्थापित करते हैं। y2/3y^{2/3} का समाकलन y5/35/3\frac{y^{5/3}}{5/3} है। सीमाओं को प्रतिस्थापित करने के बाद, हमें V=64π5V = \frac{64\pi}{5} प्राप्त होता है।

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