EXTENSION: Find the volume of the solid generated by revolving the region bounded by y=x3,y=0 and x=2 about the y-axis using the washer method. Additionally, generalize
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Step-by-Step Solution
Step 1: क्षेत्र को समझना और सीमाएँ निर्धारित करना
हमें दिए गए वक्रों y=x3, y=0 (जो x -अक्ष है), और x=2 से घिरे क्षेत्र को y -अक्ष के चारों ओर घुमाना है। वॉशर विधि का उपयोग करने के लिए, हमें समाकलन y के संबंध में करना होगा। इसलिए, हमें x को y के फलन के रूप में व्यक्त करना होगा, जो x=y1/3 है।
Step 2: समाकलन की सीमाएँ ज्ञात करना
चूंकि हम y -अक्ष के चारों ओर घुमा रहे हैं, हमें y के लिए समाकलन की सीमाएँ निर्धारित करनी होंगी। y=0 निचली सीमा है। जब x=2 होता है, तो y=23=8 होता है, जो ऊपरी सीमा है।
Step 3: वॉशर विधि का सूत्र स्थापित करना
वॉशर विधि का उपयोग करके आयतन ज्ञात करने का सूत्र V=π∫y1y2(R(y)2−r(y)2)dy है, जहाँ R(y) बाहरी त्रिज्या है और r(y) आंतरिक त्रिज्या है। इस मामले में, बाहरी त्रिज्या x=2 है, इसलिए R(y)=2 । आंतरिक त्रिज्या x=y1/3 है, इसलिए r(y)=y1/3 ।
Step 4: समाकलन स्थापित करना
अब हम सूत्र में R(y), r(y) और समाकलन की सीमाओं को प्रतिस्थापित करते हैं। यह हमें V=π∫08(4−y2/3)dy देता है।
Step 5: समाकलन का मूल्यांकन करना
हम समाकलन को हल करते हैं और ऊपरी और निचली सीमाओं को प्रतिस्थापित करते हैं। y2/3 का समाकलन 5/3y5/3 है। सीमाओं को प्रतिस्थापित करने के बाद, हमें V=564π प्राप्त होता है।