हमें दिया गया है कि (n) = n/3। हम यूलर के टोटिएंट फलन के सूत्र को इस शर्त के साथ बराबर करते हैं।

हमें दिया गया है कि (n) = n/3। हम यूलर के टोटिएंट फलन के सूत्र को इस शर्त के साथ बराबर करते हैं।

हम समीकरण के दोनों पक्षों को n से विभाजित करते हैं (चूंकि n एक धनात्मक पूर्णांक है, n ≠ 0)। इससे हमें n के अभाज्य गुणनखंडों के संदर्भ में एक सरल समीकरण मिलता है।

हम समीकरण के दोनों पक्षों को n से विभाजित करते हैं (चूंकि n एक धनात्मक पूर्णांक है, n ≠ 0)। इससे हमें n के अभाज्य गुणनखंडों के संदर्भ में एक सरल समीकरण मिलता है।

उत्पाद (1 - (1)/(p)) को (p_1-1)/(p_1) · (p_2-1)/(p_2) (p_k-1)/(p_k) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ p_1, p_2,, p_k n के विशिष्ट अभाज्य गुणनखंड हैं। चूंकि 1 - (1)/(p) < 1 और p एक अभाज्य संख्या है, इसलिए p-1 हमेशा p से छोटा होगा।

उत्पाद (1 - (1)/(p)) को (p_1-1)/(p_1) · (p_2-1)/(p_2) (p_k-1)/(p_k) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ p_1, p_2,, p_k n के विशिष्ट अभाज्य गुणनखंड हैं। चूंकि 1 - (1)/(p) < 1 और p एक अभाज्य संख्या है, इसलिए p-1 हमेशा p से छोटा होगा।

चूंकि (p-1)/(p) हमेशा 1 से कम होता है, और हमें गुणनफल (1)/(3) के बराबर चाहिए, इसका मतलब है कि n का एक अभाज्य गुणनखंड 3 होना चाहिए। यदि 3 n का एक गुणनखंड है, तो गुणनफल में (1 - (1)/(3)) = (2)/(3) पद शामिल होगा। यदि n में केवल 3 ही अभाज्य गुणनखंड है, तो (n) = n(1 - 1/3) = n(2/3) = 2n/3 ≠ n/3। इसलिए, n में 3 के अलावा अन्य अभाज्य गुणनखंड भी होने चाहिए।

चूंकि (p-1)/(p) हमेशा 1 से कम होता है, और हमें गुणनफल (1)/(3) के बराबर चाहिए, इसका मतलब है कि n का एक अभाज्य गुणनखंड 3 होना चाहिए। यदि 3 n का एक गुणनखंड है, तो गुणनफल में (1 - (1)/(3)) = (2)/(3) पद शामिल होगा। यदि n में केवल 3 ही अभाज्य गुणनखंड है, तो (n) = n(1 - 1/3) = n(2/3) = 2n/3 ≠ n/3। इसलिए, n में 3 के अलावा अन्य अभाज्य गुणनखंड भी होने चाहिए।

यदि 3 n का एक अभाज्य गुणनखंड है, तो समीकरण बन जाता है (2)/(3) _p|n, p ≠ 3 (1 - (1)/(p)) = (1)/(3)। इसे सरल करने पर हमें _p|n, p ≠ 3 (1 - (1)/(p)) = (1)/(2) मिलता है। अब हमें एक अभाज्य संख्या p की आवश्यकता है जो 3 के अलावा हो, ताकि (p-1)/(p) = (1)/(2) हो। इससे 2p-2 = p या p=2 मिलता है।

यदि 3 n का एक अभाज्य गुणनखंड है, तो समीकरण बन जाता है (2)/(3) _p|n, p ≠ 3 (1 - (1)/(p)) = (1)/(3)। इसे सरल करने पर हमें _p|n, p ≠ 3 (1 - (1)/(p)) = (1)/(2) मिलता है। अब हमें एक अभाज्य संख्या p की आवश्यकता है जो 3 के अलावा हो, ताकि (p-1)/(p) = (1)/(2) हो। इससे 2p-2 = p या p=2 मिलता है।

इसलिए, n के विशिष्ट अभाज्य गुणनखंड 2 और 3 होने चाहिए। n का रूप 2^a · 3^b होगा, जहाँ a ≥ 1 और b ≥ 1 पूर्णांक हैं।

इसलिए, n के विशिष्ट अभाज्य गुणनखंड 2 और 3 होने चाहिए। n का रूप 2^a · 3^b होगा, जहाँ a ≥ 1 और b ≥ 1 पूर्णांक हैं।

Find all positive integers n such that φ(n) = n/3, where φ is Euler's totient function.

Answer: सभी धनात्मक पूर्णांक $n$ जिनके लिए $\phi(n) = n/3$ है, वे $n = 2^a \cdot 3^b$ के रूप के हैं, जहाँ $a \ge 1$ और $b \ge 1$ पूर्णांक हैं।

Step-by-step solution

Step 1: यूलर के टोटिएंट फलन का सूत्र

यूलर का टोटिएंट फलन $\phi(n)$ उन धनात्मक पूर्णांकों की संख्या देता है जो $n$ से छोटे या उसके बराबर हैं और $n$ के साथ सह-अभाज्य हैं। इसका सूत्र $n$ के अभाज्य गुणनखंडों का उपयोग करके दिया गया है। यहाँ, $\prod_{p|n}$ का अर्थ है $n$ के सभी विशिष्ट अभाज्य गुणनखंडों $p$ पर गुणनफल।

Step 2: दी गई शर्त को लागू करना

हमें दिया गया है कि $\phi(n) = n/3$ । हम यूलर के टोटिएंट फलन के सूत्र को इस शर्त के साथ बराबर करते हैं।

Step 3: समीकरण को सरल बनाना

हम समीकरण के दोनों पक्षों को $n$ से विभाजित करते हैं (चूंकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है, $n \neq 0$ )। इससे हमें $n$ के अभाज्य गुणनखंडों के संदर्भ में एक सरल समीकरण मिलता है।

Step 4: अभाज्य गुणनखंडों का निर्धारण

उत्पाद $\prod \left(1 - \frac{1}{p}\right)$ को $\frac{p_1-1}{p_1} \cdot \frac{p_2-1}{p_2} \cdots \frac{p_k-1}{p_k}$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ $p_1, p_2, \ldots, p_k$ $n$ के विशिष्ट अभाज्य गुणनखंड हैं। चूंकि $1 - \frac{1}{p} < 1$ और $p$ एक अभाज्य संख्या है, इसलिए $p-1$ हमेशा $p$ से छोटा होगा।

Step 5: अभाज्य गुणनखंडों की पहचान

चूंकि $\frac{p-1}{p}$ हमेशा $1$ से कम होता है, और हमें गुणनफल $\frac{1}{3}$ के बराबर चाहिए, इसका मतलब है कि $n$ का एक अभाज्य गुणनखंड $3$ होना चाहिए। यदि $3$ $n$ का एक गुणनखंड है, तो गुणनफल में $\left(1 - \frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3}$ पद शामिल होगा। यदि $n$ में केवल $3$ ही अभाज्य गुणनखंड है, तो $\phi(n) = n(1 - 1/3) = n(2/3) = 2n/3 \neq n/3$ । इसलिए, $n$ में $3$ के अलावा अन्य अभाज्य गुणनखंड भी होने चाहिए।

Step 6: अतिरिक्त अभाज्य गुणनखंडों की जाँच

यदि $3$ $n$ का एक अभाज्य गुणनखंड है, तो समीकरण बन जाता है $\frac{2}{3} \prod_{p|n, p \neq 3} \left(1 - \frac{1}{p}\right) = \frac{1}{3}$ । इसे सरल करने पर हमें $\prod_{p|n, p \neq 3} \left(1 - \frac{1}{p}\right) = \frac{1}{2}$ मिलता है। अब हमें एक अभाज्य संख्या $p$ की आवश्यकता है जो $3$ के अलावा हो, ताकि $\frac{p-1}{p} = \frac{1}{2}$ हो। इससे $2p-2 = p$ या $p=2$ मिलता है।

Step 7: समाधान का निर्धारण

इसलिए, $n$ के विशिष्ट अभाज्य गुणनखंड $2$ और $3$ होने चाहिए। $n$ का रूप $2^a \cdot 3^b$ होगा, जहाँ $a \ge 1$ और $b \ge 1$ पूर्णांक हैं।

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