Find all positive integers n such that φ(n) = n/3, where φ is Euler's totient function.
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Step-by-Step Solution
Step 1: यूलर के टोटिएंट फलन का सूत्र
यूलर का टोटिएंट फलन ϕ(n) उन धनात्मक पूर्णांकों की संख्या देता है जो n से छोटे या उसके बराबर हैं और n के साथ सह-अभाज्य हैं। इसका सूत्र n के अभाज्य गुणनखंडों का उपयोग करके दिया गया है। यहाँ, ∏p∣n का अर्थ है n के सभी विशिष्ट अभाज्य गुणनखंडों p पर गुणनफल।
Step 2: दी गई शर्त को लागू करना
हमें दिया गया है कि ϕ(n)=n/3 । हम यूलर के टोटिएंट फलन के सूत्र को इस शर्त के साथ बराबर करते हैं।
Step 3: समीकरण को सरल बनाना
हम समीकरण के दोनों पक्षों को n से विभाजित करते हैं (चूंकि n एक धनात्मक पूर्णांक है, n=0)। इससे हमें n के अभाज्य गुणनखंडों के संदर्भ में एक सरल समीकरण मिलता है।
Step 4: अभाज्य गुणनखंडों का निर्धारण
उत्पाद ∏(1−p1) को p1p1−1⋅p2p2−1⋯pkpk−1 के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ p1,p2,…,pk n के विशिष्ट अभाज्य गुणनखंड हैं। चूंकि 1−p1<1 और p एक अभाज्य संख्या है, इसलिए p−1 हमेशा p से छोटा होगा।
Step 5: अभाज्य गुणनखंडों की पहचान
चूंकि pp−1 हमेशा 1 से कम होता है, और हमें गुणनफल 31 के बराबर चाहिए, इसका मतलब है कि n का एक अभाज्य गुणनखंड 3 होना चाहिए। यदि 3 n का एक गुणनखंड है, तो गुणनफल में (1−31)=32 पद शामिल होगा। यदि n में केवल 3 ही अभाज्य गुणनखंड है, तो ϕ(n)=n(1−1/3)=n(2/3)=2n/3=n/3 । इसलिए, n में 3 के अलावा अन्य अभाज्य गुणनखंड भी होने चाहिए।
Step 6: अतिरिक्त अभाज्य गुणनखंडों की जाँच
यदि 3 n का एक अभाज्य गुणनखंड है, तो समीकरण बन जाता है 32∏p∣n,p=3(1−p1)=31 । इसे सरल करने पर हमें ∏p∣n,p=3(1−p1)=21 मिलता है। अब हमें एक अभाज्य संख्या p की आवश्यकता है जो 3 के अलावा हो, ताकि pp−1=21 हो। इससे 2p−2=p या p=2 मिलता है।
Step 7: समाधान का निर्धारण
इसलिए, n के विशिष्ट अभाज्य गुणनखंड 2 और 3 होने चाहिए। n का रूप 2a⋅3b होगा, जहाँ a≥1 और b≥1 पूर्णांक हैं।