चाप की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हमें पहले दिए गए वक्र y = ln(sec x) का x के सापेक्ष अवकलज (dy)/(dx) ज्ञात करना होगा। ln(u) का अवकलज (1)/(u) (du)/(dx) होता है। यहाँ u = sec x है, और sec x का अवकलज sec x tan x होता है।

चाप की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हमें पहले दिए गए वक्र y = ln(sec x) का x के सापेक्ष अवकलज (dy)/(dx) ज्ञात करना होगा। ln(u) का अवकलज (1)/(u) (du)/(dx) होता है। यहाँ u = sec x है, और sec x का अवकलज sec x tan x होता है।

चाप की लंबाई L का सूत्र ∫_a^(b) √(1 + ((dy)/(dx))²) dx है। हम x=0 से x=π/4 तक समाकलन करते हैं। चूंकि इस अंतराल में sec x धनात्मक होता है, इसलिए |sec x| = sec x होगा।

चाप की लंबाई L का सूत्र ∫_a^(b) √(1 + ((dy)/(dx))²) dx है। हम x=0 से x=π/4 तक समाकलन करते हैं। चूंकि इस अंतराल में sec x धनात्मक होता है, इसलिए |sec x| = sec x होगा।

अब हम समाकलन की ऊपरी और निचली सीमाओं को लागू करते हैं। हम जानते हैं कि sec(π/4) = √2, tan(π/4) = 1, sec(0) = 1, और tan(0) = 0। ln(1) = 0 होता है।

अब हम समाकलन की ऊपरी और निचली सीमाओं को लागू करते हैं। हम जानते हैं कि sec(π/4) = √2, tan(π/4) = 1, sec(0) = 1, और tan(0) = 0। ln(1) = 0 होता है।

Find the arc length of the curve $y = ln\text{(sec x)}$ from $x = 0$ to x = π/4.

Answer: वक्र की चाप की लंबाई $\ln(\sqrt{2} + 1)$ है।

Step-by-step solution

Step 1: वक्र का अवकलज ज्ञात करें

चाप की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हमें पहले दिए गए वक्र $y = \ln(\sec x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करना होगा। $\ln(u)$ का अवकलज $\frac{1}{u} \frac{du}{dx}$ होता है। यहाँ $u = \sec x$ है, और $\sec x$ का अवकलज $\sec x \tan x$ होता है।

Step 2: वर्ग और 1 जोड़ें

चाप की लंबाई के सूत्र में $\sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2}$ पद होता है। इसलिए, हम $\frac{dy}{dx}$ का वर्ग करते हैं और उसमें 1 जोड़ते हैं। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ का उपयोग करके इसे सरल किया जा सकता है।

Step 3: चाप की लंबाई का सूत्र लागू करें

चाप की लंबाई $L$ का सूत्र $\int_{a}^{b} \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} dx$ है। हम $x=0$ से $x=\pi/4$ तक समाकलन करते हैं। चूंकि इस अंतराल में $\sec x$ धनात्मक होता है, इसलिए $|\sec x| = \sec x$ होगा।

Step 4: समाकलन करें

अब हमें $\sec x$ का समाकलन करना है। $\sec x$ का समाकलन $\ln|\sec x + \tan x|$ होता है।

Step 5: सीमाएँ लागू करें और मूल्यांकन करें

अब हम समाकलन की ऊपरी और निचली सीमाओं को लागू करते हैं। हम जानते हैं कि $\sec(\pi/4) = \sqrt{2}$ , $\tan(\pi/4) = 1$ , $\sec(0) = 1$ , और $\tan(0) = 0$ । $\ln(1) = 0$ होता है।

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Find the arc length of the curve y=ln(sec x)y = ln\text{(sec x)}y=ln(sec x) from x=0x = 0x=0 to x = π/4.