Find the arc length of the curve y=ln(sec x) from x=0 to x = π/4.
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Step-by-Step Solution
Step 1: वक्र का अवकलज ज्ञात करें
चाप की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हमें पहले दिए गए वक्र y=ln(secx) का x के सापेक्ष अवकलज dxdy ज्ञात करना होगा। ln(u) का अवकलज u1dxdu होता है। यहाँ u=secx है, और secx का अवकलज secxtanx होता है।
Step 2: वर्ग और 1 जोड़ें
चाप की लंबाई के सूत्र में 1+(dxdy)2 पद होता है। इसलिए, हम dxdy का वर्ग करते हैं और उसमें 1 जोड़ते हैं। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका 1+tan2x=sec2x का उपयोग करके इसे सरल किया जा सकता है।
Step 3: चाप की लंबाई का सूत्र लागू करें
चाप की लंबाई L का सूत्र ∫ab1+(dxdy)2dx है। हम x=0 से x=π/4 तक समाकलन करते हैं। चूंकि इस अंतराल में secx धनात्मक होता है, इसलिए ∣secx∣=secx होगा।
Step 4: समाकलन करें
अब हमें secx का समाकलन करना है। secx का समाकलन ln∣secx+tanx∣ होता है।
Step 5: सीमाएँ लागू करें और मूल्यांकन करें
अब हम समाकलन की ऊपरी और निचली सीमाओं को लागू करते हैं। हम जानते हैं कि sec(π/4)=2, tan(π/4)=1, sec(0)=1, और tan(0)=0 । ln(1)=0 होता है।