क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हमें पहले वक्रों को प्लॉट करना होगा। y = x² एक परवलय है जो मूल से होकर गुजरता है और y = |x| 'V' आकार का होता है जो मूल से भी होकर गुजरता है।

क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हमें पहले वक्रों को प्लॉट करना होगा। y = x² एक परवलय है जो मूल से होकर गुजरता है और y = |x| 'V' आकार का होता है जो मूल से भी होकर गुजरता है।

दिए गए वक्रों द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम शीर्ष वक्र (y = |x|, जो x ≥ 0 के लिए y=x है) से निचले वक्र (y = x²) को घटाते हैं और 0 से 1 तक परिणामी फ़ंक्शन का समाकलन करते हैं, फिर समरूपता के कारण इसे 2 से गुणा करते हैं।

दिए गए वक्रों द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम शीर्ष वक्र (y = |x|, जो x ≥ 0 के लिए y=x है) से निचले वक्र (y = x²) को घटाते हैं और 0 से 1 तक परिणामी फ़ंक्शन का समाकलन करते हैं, फिर समरूपता के कारण इसे 2 से गुणा करते हैं।

Find the area of the region bounded by the curves $y = x^2$ and $y = |x|$ .

Answer: परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $\frac{1}{3}$ वर्ग इकाई है।

Step-by-step solution

Step 1: वक्रों को प्लॉट करें

क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हमें पहले वक्रों को प्लॉट करना होगा। $y = x^2$ एक परवलय है जो मूल से होकर गुजरता है और $y = |x|$ 'V' आकार का होता है जो मूल से भी होकर गुजरता है।

Step 2: प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें

क्षेत्र को बांधने वाले प्रतिच्छेदन बिंदुओं को खोजने के लिए, हम दोनों समीकरणों को एक दूसरे के बराबर सेट करते हैं। चूंकि $y = |x|$ में एक निरपेक्ष मान शामिल है, इसलिए हम दो स्थितियों पर विचार करते हैं: $x \ge 0$ और $x < 0$ ।

Step 3: समरूपता का उपयोग करें

चूंकि दोनों वक्र $y$ -अक्ष के बारे में सममित हैं, हम $0$ से $1$ तक पहले चतुर्थांश में क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं और फिर कुल क्षेत्रफल प्राप्त करने के लिए इसे दोगुना कर सकते हैं। इस अंतराल में $|x| = x$ है।

Step 4: निश्चित इंटीग्रल सेट करें

दिए गए वक्रों द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम शीर्ष वक्र ( $y = |x|$ , जो $x \ge 0$ के लिए $y=x$ है) से निचले वक्र ( $y = x^2$ ) को घटाते हैं और $0$ से $1$ तक परिणामी फ़ंक्शन का समाकलन करते हैं, फिर समरूपता के कारण इसे $2$ से गुणा करते हैं।

Step 5: इंटीग्रल का मूल्यांकन करें

एक बार जब हमने निश्चित इंटीग्रल को सेट कर लिया, तो हम एंटीडेरिवेटिव्स ढूंढकर और ऊपरी और निचली सीमाओं पर उनका मूल्यांकन करके इसका मूल्यांकन करते हैं।

Step 6: सीमाओं पर मूल्यांकन करें

अब हम इंटीग्रल की ऊपरी और निचली सीमाओं में मानों को प्रतिस्थापित करते हैं। ऊपरी सीमा के मूल्यांकन से निचले सीमा के मूल्यांकन को घटाकर, हमें $0$ से $1$ तक के क्षेत्र का मान मिलता है, जिसे फिर कुल क्षेत्रफल प्राप्त करने के लिए दोगुना किया जाता है।

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Find the area of the region bounded by the curves y=x2y = x^2y=x2 and y=∣x∣y = |x|y=∣x∣.