दिए गए अतिपरवलय के समीकरण की तुलना मानक समीकरण (x²)/(a²)-(y²)/(b²)=1 से करने पर, हम a और b के मान ज्ञात कर सकते हैं। यह अतिपरवलय x -अक्ष के अनुदिश है।

दिए गए अतिपरवलय के समीकरण की तुलना मानक समीकरण (x²)/(a²)-(y²)/(b²)=1 से करने पर, हम a और b के मान ज्ञात कर सकते हैं। यह अतिपरवलय x -अक्ष के अनुदिश है।

पहले अतिपरवलय के समीकरण (x²)/(9)-(y²)/(16)=1 से, हम पाते हैं कि a² = 9 और b² = 16। इसलिए, a=3 और b=4।

मानक समीकरण (y²)/(a²)-(x²)/(b²)=1 से तुलना करने पर, हमें a=4 और b=1 मिलता है। फिर c² = a² + b² का उपयोग करके c = √17 प्राप्त होता है।

मानक समीकरण (y²)/(a²)-(x²)/(b²)=1 से तुलना करने पर, हमें a=4 और b=1 मिलता है। फिर c² = a² + b² का उपयोग करके c = √17 प्राप्त होता है।

Find the coordinates of the foci and the vertices, the eccentricity, the length of the latus rectum of the hyperbolas: (i) $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$ , (ii) $y^{2}-16 x^{2}=16$ .

Answer: (i) नाभियाँ: $(\pm 5, 0)$ , शीर्ष: $(\pm 3, 0)$ , उत्केन्द्रता: $\frac{5}{3}$ , नाभिलंब जीवा की लंबाई: $\frac{32}{3}$ (ii) नाभियाँ: $(0, \pm \sqrt{17})$ , शीर्ष: $(0, \pm 4)$ , उत्केन्द्रता: $\frac{\sqrt{17}}{4}$ , नाभिलंब जीवा की लंबाई: $\frac{1}{2}$

Step-by-step solution

Step 1: मानक समीकरण से तुलना

दिए गए अतिपरवलय के समीकरण की तुलना मानक समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ से करने पर, हम $a$ और $b$ के मान ज्ञात कर सकते हैं। यह अतिपरवलय $x$ -अक्ष के अनुदिश है।

Step 2: a और b के मान ज्ञात करना

पहले अतिपरवलय के समीकरण $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$ से, हम पाते हैं कि $a^2 = 9$ और $b^2 = 16$ । इसलिए, $a=3$ और $b=4$ ।

Step 3: c का मान ज्ञात करना

अतिपरवलय के लिए, $c^2 = a^2 + b^2$ संबंध का उपयोग करके $c$ का मान ज्ञात किया जाता है। $a=3$ और $b=4$ के मान रखने पर, हमें $c=5$ मिलता है।

Step 4: नाभियों और शीर्षों के निर्देशांक, उत्केन्द्रता और नाभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात करना

अब हम $a, b, c$ के मानों का उपयोग करके नाभियों, शीर्षों, उत्केन्द्रता और नाभिलंब जीवा की लंबाई के निर्देशांक ज्ञात कर सकते हैं।

Step 5: दूसरे अतिपरवलय के लिए समीकरण को मानक रूप में बदलना

दूसरे अतिपरवलय के समीकरण $y^{2}-16 x^{2}=16$ को मानक रूप में बदलने के लिए, हम पूरे समीकरण को $16$ से विभाजित करते हैं। यह अतिपरवलय $y$ -अक्ष के अनुदिश है।

Step 6: a, b और c के मान ज्ञात करना (दूसरा अतिपरवलय)

मानक समीकरण $\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1$ से तुलना करने पर, हमें $a=4$ और $b=1$ मिलता है। फिर $c^2 = a^2 + b^2$ का उपयोग करके $c = \sqrt{17}$ प्राप्त होता है।

Step 7: नाभियों और शीर्षों के निर्देशांक, उत्केन्द्रता और नाभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात करना (दूसरा अतिपरवलय)

अब हम $a, b, c$ के मानों का उपयोग करके दूसरे अतिपरवलय के लिए नाभियों, शीर्षों, उत्केन्द्रता और नाभिलंब जीवा की लंबाई के निर्देशांक ज्ञात कर सकते हैं।

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Find the coordinates of the foci and the vertices, the eccentricity, the length of the latus rectum of the hyperbolas: (i) x29−y216=1\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=19x2​−16y2​=1, (ii) y2−16x2=16y^{2}-16 x^{2}=16y2−16x2=16.