Find the coordinates of the foci and the vertices, the eccentricity, the length of the latus rectum of the hyperbolas: (i) 9x2−16y2=1, (ii) y2−16x2=16.
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Step-by-Step Solution
Step 1: मानक समीकरण से तुलना
दिए गए अतिपरवलय के समीकरण की तुलना मानक समीकरण a2x2−b2y2=1 से करने पर, हम a और b के मान ज्ञात कर सकते हैं। यह अतिपरवलय x -अक्ष के अनुदिश है।
Step 2: a और b के मान ज्ञात करना
पहले अतिपरवलय के समीकरण 9x2−16y2=1 से, हम पाते हैं कि a2=9 और b2=16 । इसलिए, a=3 और b=4 ।
Step 3: c का मान ज्ञात करना
अतिपरवलय के लिए, c2=a2+b2 संबंध का उपयोग करके c का मान ज्ञात किया जाता है। a=3 और b=4 के मान रखने पर, हमें c=5 मिलता है।
Step 4: नाभियों और शीर्षों के निर्देशांक, उत्केन्द्रता और नाभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात करना
अब हम a, b, c के मानों का उपयोग करके नाभियों, शीर्षों, उत्केन्द्रता और नाभिलंब जीवा की लंबाई के निर्देशांक ज्ञात कर सकते हैं।
Step 5: दूसरे अतिपरवलय के लिए समीकरण को मानक रूप में बदलना
दूसरे अतिपरवलय के समीकरण y2−16x2=16 को मानक रूप में बदलने के लिए, हम पूरे समीकरण को 16 से विभाजित करते हैं। यह अतिपरवलय y -अक्ष के अनुदिश है।
Step 6: a, b और c के मान ज्ञात करना (दूसरा अतिपरवलय)
मानक समीकरण a2y2−b2x2=1 से तुलना करने पर, हमें a=4 और b=1 मिलता है। फिर c2=a2+b2 का उपयोग करके c=17 प्राप्त होता है।
Step 7: नाभियों और शीर्षों के निर्देशांक, उत्केन्द्रता और नाभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात करना (दूसरा अतिपरवलय)
अब हम a, b, c के मानों का उपयोग करके दूसरे अतिपरवलय के लिए नाभियों, शीर्षों, उत्केन्द्रता और नाभिलंब जीवा की लंबाई के निर्देशांक ज्ञात कर सकते हैं।