समीकरण को सरल बनाने पर हमें (x²)/(4) + (y²)/(9) = 1 प्राप्त होता है। यह (x²)/(a²) + (y²)/(b²) = 1 के मानक रूप में है, जहाँ a² = 4 और b² = 9। चूंकि b² > a², दीर्घ अक्ष y -अक्ष पर है।

समीकरण को सरल बनाने पर हमें (x²)/(4) + (y²)/(9) = 1 प्राप्त होता है। यह (x²)/(a²) + (y²)/(b²) = 1 के मानक रूप में है, जहाँ a² = 4 और b² = 9। चूंकि b² > a², दीर्घ अक्ष y -अक्ष पर है।

मानक समीकरण से, हमें a² = 4 ⇒ a = 2 और b² = 9 ⇒ b = 3 मिलता है। नाभियों के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए, हम c = √(b² - a²) का उपयोग करते हैं।

मानक समीकरण से, हमें a² = 4 ⇒ a = 2 और b² = 9 ⇒ b = 3 मिलता है। नाभियों के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए, हम c = √(b² - a²) का उपयोग करते हैं।

चूंकि दीर्घ अक्ष y -अक्ष पर है, नाभियों के निर्देशांक (0, ± c) और शीर्षों के निर्देशांक (0, ± b) होंगे।

चूंकि दीर्घ अक्ष y -अक्ष पर है, नाभियों के निर्देशांक (0, ± c) और शीर्षों के निर्देशांक (0, ± b) होंगे।

उत्केंद्रता e = (c)/(b) द्वारा दी जाती है।

Find the coordinates of the foci, the vertices, the lengths of major and minor axes and the eccentricity of the ellipse $9 x^{2}+4 y^{2}=36$ .

Answer: नाभियाँ: $(0, \pm \sqrt{5})$ , शीर्ष: $(0, \pm 3)$ , दीर्घ अक्ष की लंबाई: $6$ , लघु अक्ष की लंबाई: $4$ , उत्केंद्रता: $\frac{\sqrt{5}}{3}$

Step-by-step solution

Step 1: दीर्घवृत्त के समीकरण को मानक रूप में परिवर्तित करें

दिए गए दीर्घवृत्त का समीकरण $9x^2 + 4y^2 = 36$ है। इसे मानक रूप में बदलने के लिए, हम समीकरण के दोनों पक्षों को 36 से विभाजित करते हैं।

Step 2: मानक समीकरण से तुलना करें

समीकरण को सरल बनाने पर हमें $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ प्राप्त होता है। यह $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के मानक रूप में है, जहाँ $a^2 = 4$ और $b^2 = 9$ । चूंकि $b^2 > a^2$ , दीर्घ अक्ष $y$ -अक्ष पर है।

Step 3: a, b और c के मान ज्ञात करें

मानक समीकरण से, हमें $a^2 = 4 \implies a = 2$ और $b^2 = 9 \implies b = 3$ मिलता है। नाभियों के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए, हम $c = \sqrt{b^2 - a^2}$ का उपयोग करते हैं।

Step 4: नाभियों और शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात करें

चूंकि दीर्घ अक्ष $y$ -अक्ष पर है, नाभियों के निर्देशांक $(0, \pm c)$ और शीर्षों के निर्देशांक $(0, \pm b)$ होंगे।

Step 5: दीर्घ अक्ष और लघु अक्ष की लंबाई ज्ञात करें

दीर्घ अक्ष की लंबाई $2b$ और लघु अक्ष की लंबाई $2a$ होती है।

Step 6: उत्केंद्रता ज्ञात करें

उत्केंद्रता $e = \frac{c}{b}$ द्वारा दी जाती है।

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Find the coordinates of the foci, the vertices, the lengths of major and minor axes and the eccentricity of the ellipse 9x2+4y2=369 x^{2}+4 y^{2}=369x2+4y2=36.