Find the derivative of f(x)=1+x+x2+x3+…+x50 at x=1.
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Step-by-Step Solution
Step 1: फलन को पहचानें
हमें दिए गए फलन f(x) का अवकलज x=1 पर ज्ञात करना है। यह फलन x की घातों का एक बहुपद है।
Step 2: अवकलज ज्ञात करें
हम फलन के प्रत्येक पद का अवकलज ज्ञात करने के लिए घात नियम (dxdxn=nxn−1) का उपयोग करते हैं। एक स्थिरांक का अवकलज शून्य होता है।
Step 3: अवकलज को सरल करें
अवकलज ज्ञात करने के बाद, हम इसे सरल रूप में लिखते हैं।
Step 4: x=1 पर अवकलज का मान ज्ञात करें
अब, हम x=1 पर अवकलज का मान ज्ञात करने के लिए f'(x) में x=1 प्रतिस्थापित करते हैं। चूंकि 1 की कोई भी घात 1 ही होती है, इसलिए प्रत्येक पद का मान उसका गुणांक होगा।
Step 5: योगफल की गणना करें
यह 1 से 50 तक की सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग है। हम इस योग को ज्ञात करने के लिए सूत्र Sn=2n(n+1) का उपयोग कर सकते हैं, जहाँ n=50 है।
Step 6: अंतिम उत्तर
सूत्र का उपयोग करके, हम योगफल की गणना करते हैं, जो 1275 है।