हम फलन के प्रत्येक पद का अवकलज ज्ञात करने के लिए घात नियम ((d)/(dx)x^n = nx^(n-1)) का उपयोग करते हैं। एक स्थिरांक का अवकलज शून्य होता है।

हम फलन के प्रत्येक पद का अवकलज ज्ञात करने के लिए घात नियम ((d)/(dx)x^n = nx^(n-1)) का उपयोग करते हैं। एक स्थिरांक का अवकलज शून्य होता है।

यह 1 से 50 तक की सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग है। हम इस योग को ज्ञात करने के लिए सूत्र S_n = (n(n+1))/(2) का उपयोग कर सकते हैं, जहाँ n=50 है।

यह 1 से 50 तक की सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग है। हम इस योग को ज्ञात करने के लिए सूत्र S_n = (n(n+1))/(2) का उपयोग कर सकते हैं, जहाँ n=50 है।

Find the derivative of $f(x)=1+x+x^2+x^3+\ldots+x^{50}$ at $x=1$ .

Answer: $1275$

Step-by-step solution

Step 1: फलन को पहचानें

हमें दिए गए फलन $f(x)$ का अवकलज $x=1$ पर ज्ञात करना है। यह फलन $x$ की घातों का एक बहुपद है।

Step 2: अवकलज ज्ञात करें

हम फलन के प्रत्येक पद का अवकलज ज्ञात करने के लिए घात नियम $(\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1})$ का उपयोग करते हैं। एक स्थिरांक का अवकलज शून्य होता है।

Step 3: अवकलज को सरल करें

अवकलज ज्ञात करने के बाद, हम इसे सरल रूप में लिखते हैं।

Step 4: $x=1$ पर अवकलज का मान ज्ञात करें

अब, हम $x=1$ पर अवकलज का मान ज्ञात करने के लिए $f'(x)$ में $x=1$ प्रतिस्थापित करते हैं। चूंकि $1$ की कोई भी घात $1$ ही होती है, इसलिए प्रत्येक पद का मान उसका गुणांक होगा।

Step 5: योगफल की गणना करें

यह $1$ से $50$ तक की सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग है। हम इस योग को ज्ञात करने के लिए सूत्र $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग कर सकते हैं, जहाँ $n=50$ है।

Step 6: अंतिम उत्तर

सूत्र का उपयोग करके, हम योगफल की गणना करते हैं, जो $1275$ है।

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Find the derivative of f(x)=1+x+x2+x3+…+x50f(x)=1+x+x^2+x^3+\ldots+x^{50}f(x)=1+x+x2+x3+…+x50 at x=1x=1x=1.