Find the derivative of sinx at x=0.
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Step-by-Step Solution
Step 1: फलन को परिभाषित करें
हमें फलन f(x)=sinx का x=0 पर अवकलज ज्ञात करना है। अवकलज ज्ञात करने के लिए हम अवकलज की परिभाषा का उपयोग करेंगे।
Step 2: अवकलज की परिभाषा लागू करें
अवकलज की परिभाषा के अनुसार, किसी फलन f(x) का अवकलज f'(x) इस सूत्र द्वारा दिया जाता है।
Step 3: फलन को सूत्र में प्रतिस्थापित करें
अब हम f(x)=sinx को अवकलज के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं।
Step 4: त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करें
हम sin(x+h)−sinx को सरल बनाने के लिए त्रिकोणमितीय पहचान sinA−sinB=2cos(2A+B)sin(2A−B) का उपयोग करेंगे।
Step 5: पहचान लागू करें और सरल करें
पहचान लागू करने के बाद, हम पद को सरल करते हैं। हम जानते हैं कि limθ→0θsinθ=1 । इस सीमा गुण का उपयोग करके, हमें sinx का अवकलज cosx मिलता है।
Step 6: अवकलज का मान x=0 पर ज्ञात करें
अब, हम x=0 पर अवकलज का मान ज्ञात करने के लिए f′(x)=cosx में x=0 प्रतिस्थापित करते हैं। cos(0) का मान 1 होता है।