हम sin(x+h) - sin x को सरल बनाने के लिए त्रिकोणमितीय पहचान sin A - sin B = 2 cos((A+B)/(2)) sin((A-B)/(2)) का उपयोग करेंगे।

हम sin(x+h) - sin x को सरल बनाने के लिए त्रिकोणमितीय पहचान sin A - sin B = 2 cos((A+B)/(2)) sin((A-B)/(2)) का उपयोग करेंगे।

पहचान लागू करने के बाद, हम पद को सरल करते हैं। हम जानते हैं कि lim_θ → 0 (sin θ)/(θ) = 1। इस सीमा गुण का उपयोग करके, हमें sin x का अवकलज cos x मिलता है।

पहचान लागू करने के बाद, हम पद को सरल करते हैं। हम जानते हैं कि lim_θ → 0 (sin θ)/(θ) = 1। इस सीमा गुण का उपयोग करके, हमें sin x का अवकलज cos x मिलता है।

Find the derivative of $\sin x$ at $x=0$ .

Answer: $\sin x$ का $x=0$ पर अवकलज $1$ है।

Step-by-step solution

Step 1: फलन को परिभाषित करें

हमें फलन $f(x) = \sin x$ का $x=0$ पर अवकलज ज्ञात करना है। अवकलज ज्ञात करने के लिए हम अवकलज की परिभाषा का उपयोग करेंगे।

Step 2: अवकलज की परिभाषा लागू करें

अवकलज की परिभाषा के अनुसार, किसी फलन $f(x)$ का अवकलज $f'(x)$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है।

Step 3: फलन को सूत्र में प्रतिस्थापित करें

अब हम $f(x) = \sin x$ को अवकलज के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं।

Step 4: त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करें

हम $\sin(x+h) - \sin x$ को सरल बनाने के लिए त्रिकोणमितीय पहचान $\sin A - \sin B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$ का उपयोग करेंगे।

Step 5: पहचान लागू करें और सरल करें

पहचान लागू करने के बाद, हम पद को सरल करते हैं। हम जानते हैं कि $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ । इस सीमा गुण का उपयोग करके, हमें $\sin x$ का अवकलज $\cos x$ मिलता है।

Step 6: अवकलज का मान $x=0$ पर ज्ञात करें

अब, हम $x=0$ पर अवकलज का मान ज्ञात करने के लिए $f'(x) = \cos x$ में $x=0$ प्रतिस्थापित करते हैं। $\cos(0)$ का मान $1$ होता है।

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Find the derivative of sin⁡x\sin xsinx at x=0x=0x=0.