दीर्घवृत्त (x²)/(a²) + (y²)/(b²) = 1 के लिए, रेखा y = mx + c के स्पर्श रेखा होने की शर्त c² = a²m² + b² होती है। हमारे दीर्घवृत्त के समीकरण से, a² = 16 और b² = 9 है। हमारी स्पर्श रेखा का समीकरण y = mx - 8m है, इसलिए c = -8m है।

दीर्घवृत्त (x²)/(a²) + (y²)/(b²) = 1 के लिए, रेखा y = mx + c के स्पर्श रेखा होने की शर्त c² = a²m² + b² होती है। हमारे दीर्घवृत्त के समीकरण से, a² = 16 और b² = 9 है। हमारी स्पर्श रेखा का समीकरण y = mx - 8m है, इसलिए c = -8m है।

अब हम स्पर्श रेखा की शर्त में a², b² और c के मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: (-8m)² = 16m² + 9। इसे हल करने पर हमें m² = (3)/(16) मिलता है, जिससे m = ± (√3)/(4) प्राप्त होता है।

अब हम स्पर्श रेखा की शर्त में a², b² और c के मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: (-8m)² = 16m² + 9। इसे हल करने पर हमें m² = (3)/(16) मिलता है, जिससे m = ± (√3)/(4) प्राप्त होता है।

ढाल m के दो मानों का उपयोग करके, हम दो स्पर्श रेखाओं के समीकरण प्राप्त कर सकते हैं। जब m = (√3)/(4), तो समीकरण √3x - 4y - 8√3 = 0 होता है। जब m = -(√3)/(4), तो समीकरण √3x + 4y - 8√3 = 0 होता है।

ढाल m के दो मानों का उपयोग करके, हम दो स्पर्श रेखाओं के समीकरण प्राप्त कर सकते हैं। जब m = (√3)/(4), तो समीकरण √3x - 4y - 8√3 = 0 होता है। जब m = -(√3)/(4), तो समीकरण √3x + 4y - 8√3 = 0 होता है।

Find the equation of the tangent to the ellipse x²/16 + y²/9 = 1 that passes through the point (8, 0).

Answer: दीर्घवृत्त की स्पर्श रेखाओं के समीकरण हैं: $\sqrt{3}x - 4y - 8\sqrt{3} = 0$ और $\sqrt{3}x + 4y - 8\sqrt{3} = 0$

Step-by-step solution

Step 1: दीर्घवृत्त का समीकरण और बिंदु

हमें दीर्घवृत्त का समीकरण दिया गया है और एक बिंदु $(8, 0)$ दिया गया है जिससे स्पर्श रेखा गुजरती है। हमें इस स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात करना है।

Step 2: स्पर्श रेखा का समीकरण मानिए

हम जानते हैं कि किसी बिंदु $(x_1, y_1)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ होता है, जहाँ $m$ रेखा की ढाल है। यहाँ बिंदु $(8, 0)$ है, इसलिए समीकरण $y - 0 = m(x - 8)$ या $y = m(x - 8)$ हो जाता है।

Step 3: स्पर्श रेखा की शर्त लागू करें

दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए, रेखा $y = mx + c$ के स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^2 = a^2m^2 + b^2$ होती है। हमारे दीर्घवृत्त के समीकरण से, $a^2 = 16$ और $b^2 = 9$ है। हमारी स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx - 8m$ है, इसलिए $c = -8m$ है।

Step 4: ढाल (m) ज्ञात कीजिए

अब हम स्पर्श रेखा की शर्त में $a^2$ , $b^2$ और $c$ के मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: $(-8m)^2 = 16m^2 + 9$ । इसे हल करने पर हमें $m^2 = \frac{3}{16}$ मिलता है, जिससे $m = \pm \frac{\sqrt{3}}{4}$ प्राप्त होता है।

Step 5: स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए

ढाल $m$ के दो मानों का उपयोग करके, हम दो स्पर्श रेखाओं के समीकरण प्राप्त कर सकते हैं। जब $m = \frac{\sqrt{3}}{4}$ , तो समीकरण $\sqrt{3}x - 4y - 8\sqrt{3} = 0$ होता है। जब $m = -\frac{\sqrt{3}}{4}$ , तो समीकरण $\sqrt{3}x + 4y - 8\sqrt{3} = 0$ होता है।

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