Find the equation of the tangent to the ellipse x²/16 + y²/9 = 1 that passes through the point (8, 0).
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Step-by-Step Solution
Step 1: दीर्घवृत्त का समीकरण और बिंदु
हमें दीर्घवृत्त का समीकरण दिया गया है और एक बिंदु (8,0) दिया गया है जिससे स्पर्श रेखा गुजरती है। हमें इस स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात करना है।
Step 2: स्पर्श रेखा का समीकरण मानिए
हम जानते हैं कि किसी बिंदु (x1,y1) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण y−y1=m(x−x1) होता है, जहाँ m रेखा की ढाल है। यहाँ बिंदु (8,0) है, इसलिए समीकरण y−0=m(x−8) या y=m(x−8) हो जाता है।
Step 3: स्पर्श रेखा की शर्त लागू करें
दीर्घवृत्त a2x2+b2y2=1 के लिए, रेखा y=mx+c के स्पर्श रेखा होने की शर्त c2=a2m2+b2 होती है। हमारे दीर्घवृत्त के समीकरण से, a2=16 और b2=9 है। हमारी स्पर्श रेखा का समीकरण y=mx−8m है, इसलिए c=−8m है।
Step 4: ढाल (m) ज्ञात कीजिए
अब हम स्पर्श रेखा की शर्त में a2, b2 और c के मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: (−8m)2=16m2+9 । इसे हल करने पर हमें m2=163 मिलता है, जिससे m=±43 प्राप्त होता है।
Step 5: स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए
ढाल m के दो मानों का उपयोग करके, हम दो स्पर्श रेखाओं के समीकरण प्राप्त कर सकते हैं। जब m=43, तो समीकरण 3x−4y−83=0 होता है। जब m=−43, तो समीकरण 3x+4y−83=0 होता है।