Find the extrema of f(x,y,z) = xyz subject to the constraint x² + 2y² + 3z² = 6 using Lagrange multipliers.
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Step-by-Step Solution
Step 1: लैग्रेंज फलन स्थापित करें
लैग्रेंज गुणक विधि का उपयोग करने के लिए, हम एक नया फलन L(x,y,z,λ) बनाते हैं, जिसे लैग्रेंज फलन कहते हैं। यह मूल फलन f(x,y,z) और प्रतिबंध फलन g(x,y,z) का संयोजन होता है, जहाँ λ लैग्रेंज गुणक है।
Step 2: आंशिक अवकलज ज्ञात करें
चरम मान ज्ञात करने के लिए, हम लैग्रेंज फलन के सभी चरों (x,y,z,λ) के सापेक्ष आंशिक अवकलज ज्ञात करते हैं और उन्हें शून्य के बराबर सेट करते हैं। इससे हमें समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है।
Step 3: समीकरणों को हल करें
समीकरण (1), (2) और (3) से, हम λ के लिए व्यंजक प्राप्त करते हैं। इन व्यंजकों को बराबर करके, हम x, y, और z के बीच संबंध स्थापित करते हैं। यदि λ=0, तो xyz=0, जो चरम मान नहीं देता है। इसलिए, हम मान सकते हैं कि λ=0 है।
Step 4: प्रतिबंध समीकरण में प्रतिस्थापित करें
हमने जो संबंध x2=2y2=3z2 प्राप्त किया है, उसे प्रतिबंध समीकरण x2+2y2+3z2=6 में प्रतिस्थापित करते हैं। इससे हमें x का मान मिलता है।
Step 5: y और z के मान ज्ञात करें
x2=2 का उपयोग करके, हम y और z के मान ज्ञात करते हैं। हमें ध्यान देना चाहिए कि x, y, z के सभी संभावित संयोजनों पर विचार करना होगा।
Step 6: चरम मानों की गणना करें
अब हम x, y, और z के सभी संभावित मानों को मूल फलन f(x,y,z)=xyz में प्रतिस्थापित करते हैं। अधिकतम मान तब प्राप्त होता है जब x, y, z सभी धनात्मक हों या दो ऋणात्मक और एक धनात्मक हो। न्यूनतम मान तब प्राप्त होता है जब एक ऋणात्मक और दो धनात्मक हों या सभी ऋणात्मक हों।