हमने जो संबंध x² = 2y² = 3z² प्राप्त किया है, उसे प्रतिबंध समीकरण x² + 2y² + 3z² = 6 में प्रतिस्थापित करते हैं। इससे हमें x का मान मिलता है।

हमने जो संबंध x² = 2y² = 3z² प्राप्त किया है, उसे प्रतिबंध समीकरण x² + 2y² + 3z² = 6 में प्रतिस्थापित करते हैं। इससे हमें x का मान मिलता है।

Find the extrema of f(x,y,z) = xyz subject to the constraint x² + 2y² + 3z² = 6 using Lagrange multipliers.

Answer: फलन के चरम मान $\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}$ हैं।

Step-by-step solution

Step 1: लैग्रेंज फलन स्थापित करें

लैग्रेंज गुणक विधि का उपयोग करने के लिए, हम एक नया फलन $L(x,y,z,\lambda)$ बनाते हैं, जिसे लैग्रेंज फलन कहते हैं। यह मूल फलन $f(x,y,z)$ और प्रतिबंध फलन $g(x,y,z)$ का संयोजन होता है, जहाँ $\lambda$ लैग्रेंज गुणक है।

Step 2: आंशिक अवकलज ज्ञात करें

चरम मान ज्ञात करने के लिए, हम लैग्रेंज फलन के सभी चरों ( $x, y, z, \lambda$ ) के सापेक्ष आंशिक अवकलज ज्ञात करते हैं और उन्हें शून्य के बराबर सेट करते हैं। इससे हमें समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है।

Step 3: समीकरणों को हल करें

समीकरण (1), (2) और (3) से, हम $\lambda$ के लिए व्यंजक प्राप्त करते हैं। इन व्यंजकों को बराबर करके, हम $x, y,$ और $z$ के बीच संबंध स्थापित करते हैं। यदि $\lambda = 0$ , तो $xyz=0$ , जो चरम मान नहीं देता है। इसलिए, हम मान सकते हैं कि $\lambda \neq 0$ है।

Step 4: प्रतिबंध समीकरण में प्रतिस्थापित करें

हमने जो संबंध $x^2 = 2y^2 = 3z^2$ प्राप्त किया है, उसे प्रतिबंध समीकरण $x^2 + 2y^2 + 3z^2 = 6$ में प्रतिस्थापित करते हैं। इससे हमें $x$ का मान मिलता है।

Step 5: $y$ और $z$ के मान ज्ञात करें

$x^2 = 2$ का उपयोग करके, हम $y$ और $z$ के मान ज्ञात करते हैं। हमें ध्यान देना चाहिए कि $x, y, z$ के सभी संभावित संयोजनों पर विचार करना होगा।

Step 6: चरम मानों की गणना करें

अब हम $x, y,$ और $z$ के सभी संभावित मानों को मूल फलन $f(x,y,z) = xyz$ में प्रतिस्थापित करते हैं। अधिकतम मान तब प्राप्त होता है जब $x, y, z$ सभी धनात्मक हों या दो ऋणात्मक और एक धनात्मक हो। न्यूनतम मान तब प्राप्त होता है जब एक ऋणात्मक और दो धनात्मक हों या सभी ऋणात्मक हों।

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