Find the Fourier series of f(x) = x² on [-π, π] and use it to evaluate Σ(n=1n=1 to ∞) 1/n⁴.

Answer: फूरियर श्रेणी x2=π23+∑n=1∞4(−1)nn2cos⁡(nx)x^2 = \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4(-1)^n}{n^2} \cos(nx) है और ∑n=1∞1n4=π490\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90} है।

Step-by-step solution

Step 1: फूरियर श्रेणी के गुणांक ज्ञात करें

फूरियर श्रेणी के गुणांक a0a_0, ana_n और bnb_n को ज्ञात करने के लिए, हम उनके संबंधित सूत्रों का उपयोग करते हैं। चूंकि f(x)=x2f(x) = x^2 एक सम फलन है, इसलिए bn=0b_n = 0 होगा।

Step 2: a0a_0 का मान ज्ञात करें

हम a0a_0 के लिए समाकलन का मूल्यांकन करते हैं। चूंकि x2x^2 एक सम फलन है, हम समाकलन की सीमा को 00 से π\pi तक बदल सकते हैं और परिणाम को 22 से गुणा कर सकते हैं।

Step 3: ana_n का मान ज्ञात करें

हम ana_n के लिए समाकलन का मूल्यांकन करते हैं, आंशिक समाकलन का उपयोग करते हुए। cos⁡(nπ)=(−1)n\cos(n\pi) = (-1)^n और sin⁡(nπ)=0\sin(n\pi) = 0 का उपयोग करके, हम ana_n का मान प्राप्त करते हैं।

Step 4: फूरियर श्रेणी लिखें

अब हम a0a_0, ana_n और bnb_n के मानों को फूरियर श्रेणी के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं।

Step 5: पार्सेवल की पहचान लागू करें

पार्सेवल की पहचान का उपयोग करके, हम ∑n=1∞1n4\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} का मान ज्ञात कर सकते हैं।

Step 6: पार्सेवल की पहचान का मूल्यांकन करें

हम पार्सेवल की पहचान के दोनों पक्षों का मूल्यांकन करते हैं। बाईं ओर के लिए, हम x4x^4 का समाकलन करते हैं। दाईं ओर के लिए, हम a0a_0 और ana_n के मानों को प्रतिस्थापित करते हैं।

Step 7: योग का मान ज्ञात करें

अब हम ∑n=1∞1n4\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} के लिए समीकरण को हल करते हैं।

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