Find the Fourier series of f(x) = x² on [-π, π] and use it to evaluate Σ(n=1 to ∞) 1/n⁴.
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Step-by-Step Solution
Step 1: फूरियर श्रेणी के गुणांक ज्ञात करें
फूरियर श्रेणी के गुणांक a0, an और bn को ज्ञात करने के लिए, हम उनके संबंधित सूत्रों का उपयोग करते हैं। चूंकि f(x)=x2 एक सम फलन है, इसलिए bn=0 होगा।
Step 2: a0 का मान ज्ञात करें
हम a0 के लिए समाकलन का मूल्यांकन करते हैं। चूंकि x2 एक सम फलन है, हम समाकलन की सीमा को 0 से π तक बदल सकते हैं और परिणाम को 2 से गुणा कर सकते हैं।
Step 3: an का मान ज्ञात करें
हम an के लिए समाकलन का मूल्यांकन करते हैं, आंशिक समाकलन का उपयोग करते हुए। cos(nπ)=(−1)n और sin(nπ)=0 का उपयोग करके, हम an का मान प्राप्त करते हैं।
Step 4: फूरियर श्रेणी लिखें
अब हम a0, an और bn के मानों को फूरियर श्रेणी के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं।
Step 5: पार्सेवल की पहचान लागू करें
पार्सेवल की पहचान का उपयोग करके, हम ∑n=1∞n41 का मान ज्ञात कर सकते हैं।
Step 6: पार्सेवल की पहचान का मूल्यांकन करें
हम पार्सेवल की पहचान के दोनों पक्षों का मूल्यांकन करते हैं। बाईं ओर के लिए, हम x4 का समाकलन करते हैं। दाईं ओर के लिए, हम a0 और an के मानों को प्रतिस्थापित करते हैं।
Step 7: योग का मान ज्ञात करें
अब हम ∑n=1∞n41 के लिए समीकरण को हल करते हैं।