Find the Green's function for the operator L[u] = -u'' with boundary conditions u(0) = u(1) = 0.
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Step-by-Step Solution
Step 1: ग्रीन के फलन की परिभाषा
ग्रीन का फलन G(x,ξ) एक ऑपरेटर L के लिए एक विशेष समाधान है जो डिराक डेल्टा फलन δ(x−ξ) को संतुष्ट करता है। यह हमें ऑपरेटर के व्युत्क्रम को खोजने में मदद करता है।
Step 2: सजातीय समीकरण को हल करना
डेल्टा फलन के अलावा, ऑपरेटर L[u]=−u′′ सजातीय समीकरण −G′′(x,ξ)=0 बन जाता है। इस समीकरण का सामान्य हल G(x,ξ)=Ax+B है। हम इसे दो क्षेत्रों में विभाजित करते हैं: x<ξ और x>ξ ।
Step 3: सीमा शर्तों को लागू करना
दी गई सीमा शर्तें u(0)=0 और u(1)=0 हैं। हम इन शर्तों को ग्रीन के फलन पर लागू करते हैं। G(0,ξ)=0 का अर्थ है कि B1=0 । G(1,ξ)=0 का अर्थ है कि A2+B2=0, जिससे B2=−A2 प्राप्त होता है।
Step 4: निरंतरता की शर्त
ग्रीन का फलन x=ξ पर निरंतर होना चाहिए। इसका मतलब है कि x<ξ के लिए फलन का मान x=ξ पर x>ξ के लिए फलन के मान के बराबर होना चाहिए।
Step 5: व्युत्पन्न में असंतुलन की शर्त
ग्रीन के फलन के व्युत्पन्न में x=ξ पर एक असंतुलन होता है। असंतुलन का परिमाण उच्चतम व्युत्पन्न के गुणांक के व्युत्क्रम के बराबर होता है। हमारे ऑपरेटर L[u]=−u′′ में, उच्चतम व्युत्पन्न का गुणांक −1 है।
Step 6: गुणांकों को हल करना
अब हमारे पास A1 और A2 के लिए दो समीकरण हैं। इन समीकरणों को हल करके, हम A1 और A2 के मान प्राप्त कर सकते हैं।
Step 7: ग्रीन के फलन का निर्माण
गुणांकों के मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें ग्रीन का फलन प्राप्त होता है। इसे अक्सर एक सममित रूप में लिखा जाता है: G(x,ξ)={x(ξ−1)ξ(x−1)x<ξx>ξ