ग्रीन का फलन G(x,) एक ऑपरेटर L के लिए एक विशेष समाधान है जो डिराक डेल्टा फलन (x -) को संतुष्ट करता है। यह हमें ऑपरेटर के व्युत्क्रम को खोजने में मदद करता है।

ग्रीन का फलन G(x,) एक ऑपरेटर L के लिए एक विशेष समाधान है जो डिराक डेल्टा फलन (x -) को संतुष्ट करता है। यह हमें ऑपरेटर के व्युत्क्रम को खोजने में मदद करता है।

डेल्टा फलन के अलावा, ऑपरेटर L[u] = -u'' सजातीय समीकरण -G''(x,) = 0 बन जाता है। इस समीकरण का सामान्य हल G(x,) = Ax + B है। हम इसे दो क्षेत्रों में विभाजित करते हैं: x ।

डेल्टा फलन के अलावा, ऑपरेटर L[u] = -u'' सजातीय समीकरण -G''(x,) = 0 बन जाता है। इस समीकरण का सामान्य हल G(x,) = Ax + B है। हम इसे दो क्षेत्रों में विभाजित करते हैं: x ।

दी गई सीमा शर्तें u(0) = 0 और u(1) = 0 हैं। हम इन शर्तों को ग्रीन के फलन पर लागू करते हैं। G(0,) = 0 का अर्थ है कि B_1 = 0। G(1,) = 0 का अर्थ है कि A_2 + B_2 = 0, जिससे B_2 = -A_2 प्राप्त होता है।

दी गई सीमा शर्तें u(0) = 0 और u(1) = 0 हैं। हम इन शर्तों को ग्रीन के फलन पर लागू करते हैं। G(0,) = 0 का अर्थ है कि B_1 = 0। G(1,) = 0 का अर्थ है कि A_2 + B_2 = 0, जिससे B_2 = -A_2 प्राप्त होता है।

ग्रीन का फलन x = पर निरंतर होना चाहिए। इसका मतलब है कि x के लिए फलन के मान के बराबर होना चाहिए।

ग्रीन का फलन x = पर निरंतर होना चाहिए। इसका मतलब है कि x के लिए फलन के मान के बराबर होना चाहिए।

Find the Green's function for the operator L[u] = -u'' with boundary conditions u(0) = u(1) = 0.

Answer: ऑपरेटर $L[u] = -u''$ के लिए ग्रीन का फलन, सीमा शर्तों $u(0) = u(1) = 0$ के साथ, है: $G(x, \xi) = \begin{cases} x(\xi - 1) & x < \xi \\ \xi(x - 1) & x > \xi \end{cases}$

Step-by-step solution

Step 1: ग्रीन के फलन की परिभाषा

ग्रीन का फलन $G(x, \xi)$ एक ऑपरेटर $L$ के लिए एक विशेष समाधान है जो डिराक डेल्टा फलन $\delta(x - \xi)$ को संतुष्ट करता है। यह हमें ऑपरेटर के व्युत्क्रम को खोजने में मदद करता है।

Step 2: सजातीय समीकरण को हल करना

डेल्टा फलन के अलावा, ऑपरेटर $L[u] = -u''$ सजातीय समीकरण $-G''(x, \xi) = 0$ बन जाता है। इस समीकरण का सामान्य हल $G(x, \xi) = Ax + B$ है। हम इसे दो क्षेत्रों में विभाजित करते हैं: $x < \xi$ और $x > \xi$ ।

Step 3: सीमा शर्तों को लागू करना

दी गई सीमा शर्तें $u(0) = 0$ और $u(1) = 0$ हैं। हम इन शर्तों को ग्रीन के फलन पर लागू करते हैं। $G(0, \xi) = 0$ का अर्थ है कि $B_1 = 0$ । $G(1, \xi) = 0$ का अर्थ है कि $A_2 + B_2 = 0$ , जिससे $B_2 = -A_2$ प्राप्त होता है।

Step 4: निरंतरता की शर्त

ग्रीन का फलन $x = \xi$ पर निरंतर होना चाहिए। इसका मतलब है कि $x < \xi$ के लिए फलन का मान $x = \xi$ पर $x > \xi$ के लिए फलन के मान के बराबर होना चाहिए।

Step 5: व्युत्पन्न में असंतुलन की शर्त

ग्रीन के फलन के व्युत्पन्न में $x = \xi$ पर एक असंतुलन होता है। असंतुलन का परिमाण उच्चतम व्युत्पन्न के गुणांक के व्युत्क्रम के बराबर होता है। हमारे ऑपरेटर $L[u] = -u''$ में, उच्चतम व्युत्पन्न का गुणांक $-1$ है।

Step 6: गुणांकों को हल करना

अब हमारे पास $A_1$ और $A_2$ के लिए दो समीकरण हैं। इन समीकरणों को हल करके, हम $A_1$ और $A_2$ के मान प्राप्त कर सकते हैं।

Step 7: ग्रीन के फलन का निर्माण

गुणांकों के मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें ग्रीन का फलन प्राप्त होता है। इसे अक्सर एक सममित रूप में लिखा जाता है: $G(x, \xi) = \begin{cases} x(\xi - 1) & x < \xi \\ \xi(x - 1) & x > \xi \end{cases}$

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