Find the inverse of the matrix A=[[1,2,5],[2,3,1],[−1,1,1]] if it exists.
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Step-by-Step Solution
Step 1: सारणिक का मान ज्ञात करें
सबसे पहले, हमें यह निर्धारित करने के लिए कि व्युत्क्रम मौजूद है या नहीं, आव्यूह A का सारणिक (det(A)) ज्ञात करना होगा। यदि सारणिक शून्य है, तो व्युत्क्रम मौजूद नहीं है। यदि यह गैर-शून्य है, तो व्युत्क्रम मौजूद है।
Step 2: सारणिक की गणना करें
सारणिक की गणना 1×(3×1−1×1)−2×(2×1−1×(−1))+5×(2×1−3×(−1)) सूत्र का उपयोग करके की जाती है। गणना करने पर, हमें det(A)=21 प्राप्त होता है। चूंकि 21=0, आव्यूह A का व्युत्क्रम मौजूद है।
Step 3: सह-खंडों की गणना करें
एक व्युत्क्रम आव्यूह ज्ञात करने के लिए, हमें पहले प्रत्येक तत्व के सह-खंडों (cofactors) की गणना करनी होगी। सह-खंड Cij की गणना Cij=(−1)i+jMij सूत्र का उपयोग करके की जाती है, जहाँ Mij संबंधित लघु सारणिक (minor) है। प्रत्येक तत्व के लिए सावधानिपूर्वक गणना करें।
Step 4: सहखंडज आव्यूह (एडजॉइंट) ज्ञात करें
सह-खंड आव्यूह के परिवर्त (transpose) को सहखंडज आव्यूह (adjoint matrix) कहा जाता है, जिसे adj(A) के रूप में दर्शाया जाता है। यह सह-खंड आव्यूह की पंक्तियों और स्तंभों को बदलकर प्राप्त होता है।
Step 5: व्युत्क्रम आव्यूह ज्ञात करें
अंत में, आव्यूह A का व्युत्क्रम A−1, det(A) से सहखंडज आव्यूह को विभाजित करके पाया जाता है। प्रतिस्थापन करने पर, हमें दिए गए आव्यूह का व्युत्क्रम प्राप्त होता है।