Find the inverse of the matrix A=[[1,2,5],[2,3,1],[−1,1,1]]A = [[1, 2, 5], [2, 3, 1], [-1, 1, 1]] if it exists.

Answer: आव्यूह A=[125231−111]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix} का व्युत्क्रम है A−1=121[23−13−3695−3−1]A^{-1} = \frac{1}{21} \begin{bmatrix} 2 & 3 & -13 \\ -3 & 6 & 9 \\ 5 & -3 & -1 \end{bmatrix} ।

Step-by-step solution

Step 1: सारणिक का मान ज्ञात करें

सबसे पहले, हमें यह निर्धारित करने के लिए कि व्युत्क्रम मौजूद है या नहीं, आव्यूह AA का सारणिक (det⁡(A)\det(A)) ज्ञात करना होगा। यदि सारणिक शून्य है, तो व्युत्क्रम मौजूद नहीं है। यदि यह गैर-शून्य है, तो व्युत्क्रम मौजूद है।

Step 2: सारणिक की गणना करें

सारणिक की गणना 1×(3×1−1×1)−2×(2×1−1×(−1))+5×(2×1−3×(−1))1 \times (3 \times 1 - 1 \times 1) - 2 \times (2 \times 1 - 1 \times (-1)) + 5 \times (2 \times 1 - 3 \times (-1)) सूत्र का उपयोग करके की जाती है। गणना करने पर, हमें det⁡(A)=21\det(A) = 21 प्राप्त होता है। चूंकि 21≠021 \neq 0, आव्यूह AA का व्युत्क्रम मौजूद है।

Step 3: सह-खंडों की गणना करें

एक व्युत्क्रम आव्यूह ज्ञात करने के लिए, हमें पहले प्रत्येक तत्व के सह-खंडों (cofactors) की गणना करनी होगी। सह-खंड CijC_{ij} की गणना Cij=(−1)i+jMijC_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} सूत्र का उपयोग करके की जाती है, जहाँ MijM_{ij} संबंधित लघु सारणिक (minor) है। प्रत्येक तत्व के लिए सावधानिपूर्वक गणना करें।

Step 4: सहखंडज आव्यूह (एडजॉइंट) ज्ञात करें

सह-खंड आव्यूह के परिवर्त (transpose) को सहखंडज आव्यूह (adjoint matrix) कहा जाता है, जिसे adj(A)\text{adj}(A) के रूप में दर्शाया जाता है। यह सह-खंड आव्यूह की पंक्तियों और स्तंभों को बदलकर प्राप्त होता है।

Step 5: व्युत्क्रम आव्यूह ज्ञात करें

अंत में, आव्यूह AA का व्युत्क्रम A−1A^{-1}, det⁡(A)\det(A) से सहखंडज आव्यूह को विभाजित करके पाया जाता है। प्रतिस्थापन करने पर, हमें दिए गए आव्यूह का व्युत्क्रम प्राप्त होता है।

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