सबसे पहले, हमें दिए गए प्राचलिक समीकरणों x और y के t के सापेक्ष अवकलज (dx)/(dt) और (dy)/(dt) ज्ञात करने होंगे। हम गुणन नियम और योग/घटाव नियम का उपयोग करके प्रत्येक पद का अवकलन करते हैं।

सबसे पहले, हमें दिए गए प्राचलिक समीकरणों x और y के t के सापेक्ष अवकलज (dx)/(dt) और (dy)/(dt) ज्ञात करने होंगे। हम गुणन नियम और योग/घटाव नियम का उपयोग करके प्रत्येक पद का अवकलन करते हैं।

अब, हम (dx)/(dt) और (dy)/(dt) के वर्गों का योग ज्ञात करते हैं। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos² t + sin² t = 1 का उपयोग करके इसे सरल किया जा सकता है।

अब, हम (dx)/(dt) और (dy)/(dt) के वर्गों का योग ज्ञात करते हैं। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos² t + sin² t = 1 का उपयोग करके इसे सरल किया जा सकता है।

प्राचलिक समीकरणों द्वारा परिभाषित वक्र की चाप की लंबाई ज्ञात करने का सूत्र ∫_t_1^(t_2) √(((dx)/(dt))² + ((dy)/(dt))²) dt है। हम t_1 = 0 और t_2 = π/2 के साथ पहले से गणना किए गए मान को प्रतिस्थापित करते हैं।

प्राचलिक समीकरणों द्वारा परिभाषित वक्र की चाप की लंबाई ज्ञात करने का सूत्र ∫_t_1^(t_2) √(((dx)/(dt))² + ((dy)/(dt))²) dt है। हम t_1 = 0 और t_2 = π/2 के साथ पहले से गणना किए गए मान को प्रतिस्थापित करते हैं।

हम वर्गमूल को सरल करते हैं और फिर t के सापेक्ष समाकलन करते हैं। चूंकि t का मान 0 से π/2 के बीच है, at हमेशा धनात्मक होगा, इसलिए |at| = at।

हम वर्गमूल को सरल करते हैं और फिर t के सापेक्ष समाकलन करते हैं। चूंकि t का मान 0 से π/2 के बीच है, at हमेशा धनात्मक होगा, इसलिए |at| = at।

Find the length of the curve defined parametrically by $x = a(cos t + t sin t), y = a\text{(sin t - t cos t)}$ for 0 ≤ t ≤ π/2.

Answer: वक्र की लंबाई $\frac{a\pi^2}{8}$ है।

Step-by-step solution

Step 1: अवकलज ज्ञात करें

सबसे पहले, हमें दिए गए प्राचलिक समीकरणों $x$ और $y$ के $t$ के सापेक्ष अवकलज $\frac{dx}{dt}$ और $\frac{dy}{dt}$ ज्ञात करने होंगे। हम गुणन नियम और योग/घटाव नियम का उपयोग करके प्रत्येक पद का अवकलन करते हैं।

Step 2: वर्गों का योग ज्ञात करें

अब, हम $\frac{dx}{dt}$ और $\frac{dy}{dt}$ के वर्गों का योग ज्ञात करते हैं। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ का उपयोग करके इसे सरल किया जा सकता है।

Step 3: चाप की लंबाई का सूत्र लागू करें

प्राचलिक समीकरणों द्वारा परिभाषित वक्र की चाप की लंबाई ज्ञात करने का सूत्र $\int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt$ है। हम $t_1 = 0$ और $t_2 = \pi/2$ के साथ पहले से गणना किए गए मान को प्रतिस्थापित करते हैं।

Step 4: समाकलन करें

हम वर्गमूल को सरल करते हैं और फिर $t$ के सापेक्ष समाकलन करते हैं। चूंकि $t$ का मान $0$ से $\pi/2$ के बीच है, $at$ हमेशा धनात्मक होगा, इसलिए $|at| = at$ ।

Step 5: निश्चित समाकलन का मूल्यांकन करें

अंत में, हम समाकलन की ऊपरी और निचली सीमाओं का उपयोग करके निश्चित समाकलन का मूल्यांकन करते हैं।

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Find the length of the curve defined parametrically by x=a(cost+tsint),y=a(sin t - t cos t)x = a(cos t + t sin t), y = a\text{(sin t - t cos t)}x=a(cost+tsint),y=a(sin t - t cos t) for 0 ≤ t ≤ π/2.