Find the length of the curve defined parametrically by x=a(cost+tsint),y=a(sin t - t cos t) for 0 ≤ t ≤ π/2.
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Step-by-Step Solution
Step 1: अवकलज ज्ञात करें
सबसे पहले, हमें दिए गए प्राचलिक समीकरणों x और y के t के सापेक्ष अवकलज dtdx और dtdy ज्ञात करने होंगे। हम गुणन नियम और योग/घटाव नियम का उपयोग करके प्रत्येक पद का अवकलन करते हैं।
Step 2: वर्गों का योग ज्ञात करें
अब, हम dtdx और dtdy के वर्गों का योग ज्ञात करते हैं। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका cos2t+sin2t=1 का उपयोग करके इसे सरल किया जा सकता है।
Step 3: चाप की लंबाई का सूत्र लागू करें
प्राचलिक समीकरणों द्वारा परिभाषित वक्र की चाप की लंबाई ज्ञात करने का सूत्र ∫t1t2(dtdx)2+(dtdy)2dt है। हम t1=0 और t2=π/2 के साथ पहले से गणना किए गए मान को प्रतिस्थापित करते हैं।
Step 4: समाकलन करें
हम वर्गमूल को सरल करते हैं और फिर t के सापेक्ष समाकलन करते हैं। चूंकि t का मान 0 से π/2 के बीच है, at हमेशा धनात्मक होगा, इसलिए ∣at∣=at ।
Step 5: निश्चित समाकलन का मूल्यांकन करें
अंत में, हम समाकलन की ऊपरी और निचली सीमाओं का उपयोग करके निश्चित समाकलन का मूल्यांकन करते हैं।