हम (x-2) पद को अंश और हर से रद्द कर सकते हैं, क्योंकि x → 2 का अर्थ है कि x ≠ 2। फिर, हम x=2 को सरल व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं।

हम (x-2) पद को अंश और हर से रद्द कर सकते हैं, क्योंकि x → 2 का अर्थ है कि x ≠ 2। फिर, हम x=2 को सरल व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं।

चौथे भाग में, x=2 रखने पर अंश और हर दोनों शून्य हो जाते हैं। हम अंश से x² को उभयनिष्ठ लेते हैं, जिससे x²(x-2) मिलता है। हर x²-5x+6 को (x-2)(x-3) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।

चौथे भाग में, x=2 रखने पर अंश और हर दोनों शून्य हो जाते हैं। हम अंश से x² को उभयनिष्ठ लेते हैं, जिससे x²(x-2) मिलता है। हर x²-5x+6 को (x-2)(x-3) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।

पांचवें भाग में, हम पहले दोनों भिन्नों के हरों को गुणनखंडित करते हैं। पहले भिन्न का हर x²-x = x(x-1) है। दूसरे भिन्न का हर x³-3x²+2x = x(x²-3x+2) = x(x-1)(x-2) है।

पांचवें भाग में, हम पहले दोनों भिन्नों के हरों को गुणनखंडित करते हैं। पहले भिन्न का हर x²-x = x(x-1) है। दूसरे भिन्न का हर x³-3x²+2x = x(x²-3x+2) = x(x-1)(x-2) है।

हम भिन्नों को घटाते हैं और अंश को सरल करते हैं। (x-2)² - 1 = x²-4x+4-1 = x²-4x+3।

अंश x²-4x+3 को (x-1)(x-3) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।

Find the limits: (i) $\lim _{x \rightarrow 1}\left[\frac{x^{2}+1}{x+100}\right]$ (ii) $\lim _{x \rightarrow 2}\left[\frac{x^{3}-4 x^{2}+4 x}{x^{2}-4}\right]$ (iii) $\lim _{x \rightarrow 2}\left[\frac{x^{2}-4}{x^{3}-4 x^{2}+4 x}\right]$ (iv) $\lim _{x \rightarrow 2}\left[\frac{x^{3}-2 x^{2}}{x^{2}-5 x+6}\right]$ (v) $\lim _{x \rightarrow 1}\left[\frac{x-2}{x^{2}-x}-\frac{1}{x^{3}-3 x^{2}+2 x}\right]$ .

Answer: (i) $\frac{2}{101}$ (ii) $0$ (iii) सीमा मौजूद नहीं है (अनंत) (iv) $-4$ (v) $2$

Step-by-step solution

Step 1: भाग (i) का हल

पहले भाग में, हमें $x \rightarrow 1$ के रूप में सीमा ज्ञात करनी है। चूंकि हर $x+100$ पर $x=1$ रखने पर शून्य नहीं होता है, हम सीधे $x=1$ को व्यंजक में प्रतिस्थापित कर सकते हैं।

Step 2: भाग (i) का परिणाम

प्रतिस्थापन के बाद, हम अंश और हर को सरल करते हैं ताकि सीमा का मान प्राप्त हो सके।

Step 3: भाग (ii) का हल

दूसरे भाग में, $x=2$ रखने पर अंश और हर दोनों शून्य हो जाते हैं, जो $0/0$ का अनिश्चित रूप है। इसलिए, हम व्यंजक को गुणनखंडित करते हैं। अंश से $x$ को उभयनिष्ठ लेने पर $x(x^2-4x+4)$ मिलता है, जो $x(x-2)^2$ के बराबर है। हर $x^2-4$ को $(x-2)(x+2)$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।

Step 4: भाग (ii) का सरलीकरण

हम $(x-2)$ पद को अंश और हर से रद्द कर सकते हैं, क्योंकि $x \rightarrow 2$ का अर्थ है कि $x \neq 2$ । फिर, हम $x=2$ को सरल व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं।

Step 5: भाग (ii) का परिणाम

प्रतिस्थापन के बाद, हम व्यंजक को सरल करते हैं।

Step 6: भाग (iii) का हल

तीसरे भाग में, यह व्यंजक भाग (ii) का व्युत्क्रम है। हम अंश और हर को पहले की तरह गुणनखंडित करते हैं।

Step 7: भाग (iii) का सरलीकरण

हम $(x-2)$ पद को अंश और हर से रद्द करते हैं।

Step 8: भाग (iii) का परिणाम

अब, $x=2$ को प्रतिस्थापित करने पर हर शून्य हो जाता है जबकि अंश गैर-शून्य रहता है। इसका मतलब है कि सीमा मौजूद नहीं है और अनंत की ओर अग्रसर होती है।

Step 9: भाग (iv) का हल

चौथे भाग में, $x=2$ रखने पर अंश और हर दोनों शून्य हो जाते हैं। हम अंश से $x^2$ को उभयनिष्ठ लेते हैं, जिससे $x^2(x-2)$ मिलता है। हर $x^2-5x+6$ को $(x-2)(x-3)$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।

Step 10: भाग (iv) का सरलीकरण

हम $(x-2)$ पद को अंश और हर से रद्द करते हैं। फिर, हम $x=2$ को सरल व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं।

Step 11: भाग (iv) का परिणाम

प्रतिस्थापन के बाद, हम व्यंजक को सरल करते हैं।

Step 12: भाग (v) का हल

पांचवें भाग में, हम पहले दोनों भिन्नों के हरों को गुणनखंडित करते हैं। पहले भिन्न का हर $x^2-x = x(x-1)$ है। दूसरे भिन्न का हर $x^3-3x^2+2x = x(x^2-3x+2) = x(x-1)(x-2)$ है।

Step 13: भाग (v) का सरलीकरण

अब, हम दोनों भिन्नों को एक सामान्य हर पर लाते हैं, जो $x(x-1)(x-2)$ है।

Step 14: भाग (v) का आगे सरलीकरण

हम भिन्नों को घटाते हैं और अंश को सरल करते हैं। $(x-2)^2 - 1 = x^2-4x+4-1 = x^2-4x+3$ ।

Step 15: भाग (v) का गुणनखंडन

अंश $x^2-4x+3$ को $(x-1)(x-3)$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।

Step 16: भाग (v) का अंतिम सरलीकरण

हम $(x-1)$ पद को अंश और हर से रद्द करते हैं। फिर, हम $x=1$ को सरल व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं।

Step 17: भाग (v) का परिणाम

प्रतिस्थापन के बाद, हम व्यंजक को सरल करते हैं।

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