Find the limits:
(i) limx→1[x+100x2+1]
(ii) limx→2[x2−4x3−4x2+4x]
(iii) limx→2[x3−4x2+4xx2−4]
(iv) limx→2[x2−5x+6x3−2x2]
(v) limx→1[x2−xx−2−x3−3x2+2x1].
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Step-by-Step Solution
Step 1: भाग (i) का हल
पहले भाग में, हमें x→1 के रूप में सीमा ज्ञात करनी है। चूंकि हर x+100 पर x=1 रखने पर शून्य नहीं होता है, हम सीधे x=1 को व्यंजक में प्रतिस्थापित कर सकते हैं।
Step 2: भाग (i) का परिणाम
प्रतिस्थापन के बाद, हम अंश और हर को सरल करते हैं ताकि सीमा का मान प्राप्त हो सके।
Step 3: भाग (ii) का हल
दूसरे भाग में, x=2 रखने पर अंश और हर दोनों शून्य हो जाते हैं, जो 0/0 का अनिश्चित रूप है। इसलिए, हम व्यंजक को गुणनखंडित करते हैं। अंश से x को उभयनिष्ठ लेने पर x(x2−4x+4) मिलता है, जो x(x−2)2 के बराबर है। हर x2−4 को (x-2)(x+2) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।
Step 4: भाग (ii) का सरलीकरण
हम (x−2) पद को अंश और हर से रद्द कर सकते हैं, क्योंकि x→2 का अर्थ है कि x=2 । फिर, हम x=2 को सरल व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं।
Step 5: भाग (ii) का परिणाम
प्रतिस्थापन के बाद, हम व्यंजक को सरल करते हैं।
Step 6: भाग (iii) का हल
तीसरे भाग में, यह व्यंजक भाग (ii) का व्युत्क्रम है। हम अंश और हर को पहले की तरह गुणनखंडित करते हैं।
Step 7: भाग (iii) का सरलीकरण
हम (x−2) पद को अंश और हर से रद्द करते हैं।
Step 8: भाग (iii) का परिणाम
अब, x=2 को प्रतिस्थापित करने पर हर शून्य हो जाता है जबकि अंश गैर-शून्य रहता है। इसका मतलब है कि सीमा मौजूद नहीं है और अनंत की ओर अग्रसर होती है।
Step 9: भाग (iv) का हल
चौथे भाग में, x=2 रखने पर अंश और हर दोनों शून्य हो जाते हैं। हम अंश से x2 को उभयनिष्ठ लेते हैं, जिससे x2(x−2) मिलता है। हर x2−5x+6 को (x-2)(x-3) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।
Step 10: भाग (iv) का सरलीकरण
हम (x−2) पद को अंश और हर से रद्द करते हैं। फिर, हम x=2 को सरल व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं।
Step 11: भाग (iv) का परिणाम
प्रतिस्थापन के बाद, हम व्यंजक को सरल करते हैं।
Step 12: भाग (v) का हल
पांचवें भाग में, हम पहले दोनों भिन्नों के हरों को गुणनखंडित करते हैं। पहले भिन्न का हर x2−x=x(x−1) है। दूसरे भिन्न का हर x3−3x2+2x=x(x2−3x+2)=x(x−1)(x−2) है।
Step 13: भाग (v) का सरलीकरण
अब, हम दोनों भिन्नों को एक सामान्य हर पर लाते हैं, जो x(x-1)(x-2) है।
Step 14: भाग (v) का आगे सरलीकरण
हम भिन्नों को घटाते हैं और अंश को सरल करते हैं। (x−2)2−1=x2−4x+4−1=x2−4x+3 ।
Step 15: भाग (v) का गुणनखंडन
अंश x2−4x+3 को (x-1)(x-3) के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।
Step 16: भाग (v) का अंतिम सरलीकरण
हम (x−1) पद को अंश और हर से रद्द करते हैं। फिर, हम x=1 को सरल व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं।
Step 17: भाग (v) का परिणाम
प्रतिस्थापन के बाद, हम व्यंजक को सरल करते हैं।