जब cos(x) = sin(x) होता है, तो tan(x) = 1 होता है (शून्य से भाग से बचने के लिए cos(x) ≠ 0 मानते हुए)। अंतराल [0, π] में tan(x) = 1 का केवल एक हल x = (π)/(4) है। यह हमारा क्रांतिक बिंदु है।

जब cos(x) = sin(x) होता है, तो tan(x) = 1 होता है (शून्य से भाग से बचने के लिए cos(x) ≠ 0 मानते हुए)। अंतराल [0, π] में tan(x) = 1 का केवल एक हल x = (π)/(4) है। यह हमारा क्रांतिक बिंदु है।

सभी मूल्यांकित मानों 1, √2 ≈ 1.414 और -1 की तुलना करके, हम पाते हैं कि सबसे बड़ा मान √2 है और सबसे छोटा मान -1 है। ये क्रमशः फलन के अधिकतम और न्यूनतम मान हैं।

सभी मूल्यांकित मानों 1, √2 ≈ 1.414 और -1 की तुलना करके, हम पाते हैं कि सबसे बड़ा मान √2 है और सबसे छोटा मान -1 है। ये क्रमशः फलन के अधिकतम और न्यूनतम मान हैं।

Find the maximum and minimum values of f(x) = $\sin(x) + \cos(x)$ on the interval [0, $\pi$ ].

Answer: फलन का अधिकतम मान $\sqrt{2}$ है और न्यूनतम मान $-1$ है।

Step-by-step solution

Step 1: फलन का व्युत्पन्न ज्ञात करें

अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, हमें पहले फलन $f(x)$ का अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करना होगा। अवकलज हमें फलन के ढलान के बारे में जानकारी देता है और महत्वपूर्ण बिंदुओं की पहचान करने में मदद करता है जहाँ अधिकतम या न्यूनतम मान हो सकते हैं।

Step 2: अवकलज की गणना करें

साइ $x$ का अवकलज $\cos x$ होता है और $\cos x$ का अवकलज $-\sin x$ होता है। इन अवकलजों को मूल फलन में प्रतिस्थापित करने पर हमें $f'(x)$ मिलता है।

Step 3: क्रांतिक बिंदुओं का पता लगाएँ

किसी फलन के स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम मान उन बिंदुओं पर होते हैं जहाँ उसका अवकलज शून्य होता है (क्रांतिक बिंदु)। इसलिए, हम $f'(x)$ को शून्य पर सेट करते हैं और $x$ के लिए हल करते हैं। $x$ के जिस मान के लिए $\cos(x) = \sin(x)$ होता है, वह क्रांतिक बिंदु होता है।

Step 4: क्रांतिक बिंदु के लिए हल करें

जब $\cos(x) = \sin(x)$ होता है, तो $\tan(x) = 1$ होता है (शून्य से भाग से बचने के लिए $\cos(x) \neq 0$ मानते हुए)। अंतराल $[0, \pi]$ में $\tan(x) = 1$ का केवल एक हल $x = \frac{\pi}{4}$ है। यह हमारा क्रांतिक बिंदु है।

Step 5: अंतराल के अंत-बिंदुओं और क्रांतिक बिंदुओं पर फलन के मान का मूल्यांकन करें

एक बंद अंतराल पर एक सतत फलन के अधिकतम और न्यूनतम मान या तो क्रांतिक बिंदुओं पर या अंतराल के अंत-बिंदुओं पर होते हैं। हम $x = 0$ , $x = \frac{\pi}{4}$ , और $x = \pi$ पर $f(x)$ का मूल्यांकन करते हैं।

Step 6: अधिकतम और न्यूनतम मान निर्धारित करें

सभी मूल्यांकित मानों $1$ , $\sqrt{2} \approx 1.414$ और $-1$ की तुलना करके, हम पाते हैं कि सबसे बड़ा मान $\sqrt{2}$ है और सबसे छोटा मान $-1$ है। ये क्रमशः फलन के अधिकतम और न्यूनतम मान हैं।

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Find the maximum and minimum values of f(x) = sin⁡(x)+cos⁡(x)\sin(x) + \cos(x)sin(x)+cos(x) on the interval [0, π\piπ].