Find the minimal polynomial of α = √2 + √3 over ℚ and determine [ℚ(α):ℚ].

Answer: न्यूनतम बहुपद x4−10x2+1x^4 - 10x^2 + 1 है और [Q(α):Q]=4[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}] = 4 है।

Step-by-step solution

Step 1: अल्फा को वर्ग करके वर्गमूल हटाएँ

हमें α=2+3\alpha = \sqrt{2} + \sqrt{3} दिया गया है। न्यूनतम बहुपद ज्ञात करने के लिए, हम α\alpha को वर्ग करके वर्गमूलों को हटाने का प्रयास करते हैं। α2\alpha^2 की गणना करने पर हमें 5+265 + 2\sqrt{6} मिलता है।

Step 2: वर्गमूल को अलग करें और फिर से वर्ग करें

अब, हम 6\sqrt{6} पद को अलग करते हैं और समीकरण के दोनों पक्षों को फिर से वर्ग करते हैं। इससे हमें α\alpha में एक बहुपद समीकरण मिलता है जिसमें कोई वर्गमूल नहीं होता है।

Step 3: न्यूनतम बहुपद ज्ञात करें

समीकरण को सरल करने पर, हमें α4−10α2+1=0\alpha^4 - 10\alpha^2 + 1 = 0 मिलता है। यह α\alpha के लिए एक बहुपद समीकरण है जिसके गुणांक परिमेय संख्याएँ हैं। यह बहुपद p(x)=x4−10x2+1p(x) = x^4 - 10x^2 + 1 है। यह बहुपद अपचयनशील है क्योंकि 2+3\sqrt{2} + \sqrt{3} की डिग्री 4 है।

Step 4: क्षेत्र विस्तार की डिग्री निर्धारित करें

चूंकि p(x)=x4−10x2+1p(x) = x^4 - 10x^2 + 1 α\alpha का न्यूनतम बहुपद है, इसलिए क्षेत्र विस्तार [Q(α):Q][\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}] की डिग्री न्यूनतम बहुपद की डिग्री के बराबर होती है, जो कि 4 है।

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