Find the minimal polynomial of α = √2 + √3 over ℚ and determine [ℚ(α):ℚ].
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Step-by-Step Solution
Step 1: अल्फा को वर्ग करके वर्गमूल हटाएँ
हमें α=2+3 दिया गया है। न्यूनतम बहुपद ज्ञात करने के लिए, हम α को वर्ग करके वर्गमूलों को हटाने का प्रयास करते हैं। α2 की गणना करने पर हमें 5+26 मिलता है।
Step 2: वर्गमूल को अलग करें और फिर से वर्ग करें
अब, हम 6 पद को अलग करते हैं और समीकरण के दोनों पक्षों को फिर से वर्ग करते हैं। इससे हमें α में एक बहुपद समीकरण मिलता है जिसमें कोई वर्गमूल नहीं होता है।
Step 3: न्यूनतम बहुपद ज्ञात करें
समीकरण को सरल करने पर, हमें α4−10α2+1=0 मिलता है। यह α के लिए एक बहुपद समीकरण है जिसके गुणांक परिमेय संख्याएँ हैं। यह बहुपद p(x)=x4−10x2+1 है। यह बहुपद अपचयनशील है क्योंकि 2+3 की डिग्री 4 है।
Step 4: क्षेत्र विस्तार की डिग्री निर्धारित करें
चूंकि p(x)=x4−10x2+1 α का न्यूनतम बहुपद है, इसलिए क्षेत्र विस्तार [Q(α):Q] की डिग्री न्यूनतम बहुपद की डिग्री के बराबर होती है, जो कि 4 है।