हमें दिया गया है कि फलन f एक गुणक फलन है, जिसका अर्थ है कि f(x+y) = f(x) · f(y)। हमें यह भी दिया गया है कि f(1) = 2। इस जानकारी का उपयोग करके, हम f(x) के लिए एक सामान्य सूत्र ज्ञात कर सकते हैं।

हमें दिया गया है कि फलन f एक गुणक फलन है, जिसका अर्थ है कि f(x+y) = f(x) · f(y)। हमें यह भी दिया गया है कि f(1) = 2। इस जानकारी का उपयोग करके, हम f(x) के लिए एक सामान्य सूत्र ज्ञात कर सकते हैं।

समीकरण 2^(a+1)(2^n - 1) = 16(2^n - 1) से, हम (2^n - 1) को दोनों तरफ से रद्द कर सकते हैं (चूंकि n एक प्राकृतिक संख्या है, 2^n - 1 ≠ 0)। इससे हमें 2^(a+1) = 16 मिलता है। चूंकि 16 = 2^4, हम a+1 = 4 लिख सकते हैं, जिससे a=3 प्राप्त होता है।

समीकरण 2^(a+1)(2^n - 1) = 16(2^n - 1) से, हम (2^n - 1) को दोनों तरफ से रद्द कर सकते हैं (चूंकि n एक प्राकृतिक संख्या है, 2^n - 1 ≠ 0)। इससे हमें 2^(a+1) = 16 मिलता है। चूंकि 16 = 2^4, हम a+1 = 4 लिख सकते हैं, जिससे a=3 प्राप्त होता है।

Find the natural number $a$ for which $\sum_{k=1}^{n} f(a+k)=16\left(2^{n}-1\right)$ , where the function $f$ satisfies $f(x+y)=f(x) . f(y)$ for all natural numbers $x, y$ and further $f(1)=2$ .

Answer: प्राकृतिक संख्या $a$ का मान $3$ है।

Step-by-step solution

Step 1: फलन $f(x)$ ज्ञात कीजिए

हमें दिया गया है कि फलन $f$ एक गुणक फलन है, जिसका अर्थ है कि $f(x+y) = f(x) \cdot f(y)$ । हमें यह भी दिया गया है कि $f(1) = 2$ । इस जानकारी का उपयोग करके, हम $f(x)$ के लिए एक सामान्य सूत्र ज्ञात कर सकते हैं।

Step 2: फलन $f(x)$ का मान निकालें

चूंकि $f(x+y) = f(x) \cdot f(y)$ और $f(1) = 2$ , हम $f(x)$ को $f(x) = 2^x$ के रूप में लिख सकते हैं। उदाहरण के लिए, $f(2) = f(1+1) = f(1) \cdot f(1) = 2 \cdot 2 = 2^2 = 4$ , और $f(3) = f(2+1) = f(2) \cdot f(1) = 4 \cdot 2 = 8 = 2^3$ ।

Step 3: योगफल में $f(a+k)$ को प्रतिस्थापित करें

अब हम $f(x) = 2^x$ का उपयोग दिए गए योगफल में $f(a+k)$ को प्रतिस्थापित करने के लिए करते हैं। इससे हमें $\sum_{k=1}^{n} 2^{a+k}$ मिलता है।

Step 4: योगफल का विस्तार करें

हम योगफल को $2^{a+1} + 2^{a+2} + \dots + 2^{a+n}$ के रूप में लिख सकते हैं। यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका पहला पद $2^{a+1}$ और सार्व अनुपात $2$ है।

Step 5: गुणोत्तर श्रेणी के योगफल का सूत्र लागू करें

एक गुणोत्तर श्रेणी के योगफल का सूत्र $S_n = \frac{r(r^n - 1)}{r-1}$ है, जहाँ $r$ पहला पद है और $r$ सार्व अनुपात है। इस स्थिति में, पहला पद $2^{a+1}$ है और सार्व अनुपात $2$ है। इसलिए, योगफल $2^{a+1}(2^n - 1)$ है। हमें दिया गया है कि यह योगफल $16(2^n - 1)$ के बराबर है।

Step 6: a का मान ज्ञात कीजिए

समीकरण $2^{a+1}(2^n - 1) = 16(2^n - 1)$ से, हम $(2^n - 1)$ को दोनों तरफ से रद्द कर सकते हैं (चूंकि $n$ एक प्राकृतिक संख्या है, $2^n - 1 \neq 0$ )। इससे हमें $2^{a+1} = 16$ मिलता है। चूंकि $16 = 2^4$ , हम $a+1 = 4$ लिख सकते हैं, जिससे $a=3$ प्राप्त होता है।

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Find the natural number aaa for which ∑k=1nf(a+k)=16(2n−1)\sum_{k=1}^{n} f(a+k)=16\left(2^{n}-1\right)∑k=1n​f(a+k)=16(2n−1), where the function fff satisfies f(x+y)=f(x).f(y)f(x+y)=f(x) . f(y)f(x+y)=f(x).f(y) for all natural numbers x,yx, yx,y and further f(1)=2f(1)=2f(1)=2.