Find the natural number a for which ∑k=1nf(a+k)=16(2n−1), where the function f satisfies f(x+y)=f(x).f(y) for all natural numbers x, y and further f(1)=2.
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Step-by-Step Solution
Step 1: फलन f(x) ज्ञात कीजिए
हमें दिया गया है कि फलन f एक गुणक फलन है, जिसका अर्थ है कि f(x+y)=f(x)⋅f(y) । हमें यह भी दिया गया है कि f(1)=2 । इस जानकारी का उपयोग करके, हम f(x) के लिए एक सामान्य सूत्र ज्ञात कर सकते हैं।
Step 2: फलन f(x) का मान निकालें
चूंकि f(x+y)=f(x)⋅f(y) और f(1)=2, हम f(x) को f(x)=2x के रूप में लिख सकते हैं। उदाहरण के लिए, f(2)=f(1+1)=f(1)⋅f(1)=2⋅2=22=4, और f(3)=f(2+1)=f(2)⋅f(1)=4⋅2=8=23 ।
Step 3: योगफल में f(a+k) को प्रतिस्थापित करें
अब हम f(x)=2x का उपयोग दिए गए योगफल में f(a+k) को प्रतिस्थापित करने के लिए करते हैं। इससे हमें ∑k=1n2a+k मिलता है।
Step 4: योगफल का विस्तार करें
हम योगफल को 2a+1+2a+2+⋯+2a+n के रूप में लिख सकते हैं। यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका पहला पद 2a+1 और सार्व अनुपात 2 है।
Step 5: गुणोत्तर श्रेणी के योगफल का सूत्र लागू करें
एक गुणोत्तर श्रेणी के योगफल का सूत्र Sn=r−1r(rn−1) है, जहाँ r पहला पद है और r सार्व अनुपात है। इस स्थिति में, पहला पद 2a+1 है और सार्व अनुपात 2 है। इसलिए, योगफल 2a+1(2n−1) है। हमें दिया गया है कि यह योगफल 16(2n−1) के बराबर है।
Step 6: a का मान ज्ञात कीजिए
समीकरण 2a+1(2n−1)=16(2n−1) से, हम (2n−1) को दोनों तरफ से रद्द कर सकते हैं (चूंकि n एक प्राकृतिक संख्या है, 2n−1=0)। इससे हमें 2a+1=16 मिलता है। चूंकि 16=24, हम a+1=4 लिख सकते हैं, जिससे a=3 प्राप्त होता है।