Find the number of arrangements of the letters of the word INDEPENDENCE. In how many of these arrangements, (i) do the words start with P (ii) do all the vowels always occur together (iii) do the vowels never occur together (iv) do the words begin with I and end in P?
Answer: शब्द INDEPENDENCE के अक्षरों की कुल व्यवस्थाएँ 1663200 हैं। (i) शब्द P से शुरू होने वाली व्यवस्थाएँ: 138600 (ii) सभी स्वर हमेशा एक साथ आने वाली व्यवस्थाएँ: 16800 (iii) स्वर कभी एक साथ नहीं आने वाली व्यवस्थाएँ: 1646400 (iv) शब्द I से शुरू होने और P पर समाप्त होने वाली व्यवस्थाएँ: 12600
Step-by-step solution
Step 1: शब्द के अक्षरों की पहचान करें और कुल व्यवस्थाएँ ज्ञात करें
सबसे पहले, हम शब्द INDEPENDENCE में अक्षरों की कुल संख्या और प्रत्येक अक्षर की पुनरावृत्ति की पहचान करते हैं। शब्द में 12 अक्षर हैं। अक्षर N 3 बार, अक्षर D 2 बार और अक्षर E 4 बार आता है। कुल व्यवस्थाओं की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम कुल अक्षरों के फैक्टोरियल को पुनरावृत्त अक्षरों के फैक्टोरियल से विभाजित करते हैं।
Step 2: भाग (i): शब्द P से शुरू होते हैं
यदि शब्द P से शुरू होता है, तो हम P को पहले स्थान पर स्थिर कर देते हैं। अब हमें शेष 11 अक्षरों को व्यवस्थित करना है। इन 11 अक्षरों में N 3 बार, D 2 बार और E 4 बार आता है। हम पुनरावृत्ति वाले अक्षरों के लिए सूत्र का उपयोग करके व्यवस्थाओं की संख्या ज्ञात करते हैं।
Step 3: भाग (ii): सभी स्वर हमेशा एक साथ आते हैं
इस भाग में, हम सभी स्वरों को एक साथ रखते हैं। शब्द में I (1), E (4) स्वर हैं, कुल 5 स्वर। हम इन 5 स्वरों को एक इकाई मानते हैं। शेष 7 व्यंजन हैं। अब हमारे पास कुल 8 इकाइयाँ हैं (7 व्यंजन + 1 स्वर इकाई)। इन 8 इकाइयों को व्यवस्थित करने के लिए, हम पुनरावृत्त व्यंजनों (N 3 बार, D 2 बार) को ध्यान में रखते हैं। फिर, हम स्वरों की आंतरिक व्यवस्थाओं की गणना करते हैं (E 4 बार)। अंत में, दोनों को गुणा करते हैं।
Step 4: भाग (iii): स्वर कभी एक साथ नहीं आते हैं
स्वर कभी एक साथ नहीं आते हैं, इसकी व्यवस्थाओं की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम कुल व्यवस्थाओं की संख्या में से उन व्यवस्थाओं की संख्या घटाते हैं जहाँ सभी स्वर हमेशा एक साथ आते हैं।
Step 5: भाग (iv): शब्द I से शुरू होते हैं और P पर समाप्त होते हैं
यदि शब्द I से शुरू होता है और P पर समाप्त होता है, तो हम I को पहले स्थान पर और P को अंतिम स्थान पर स्थिर कर देते हैं। अब हमें शेष 10 अक्षरों को व्यवस्थित करना है। इन 10 अक्षरों में N 3 बार, D 2 बार और E 4 बार आता है। हम पुनरावृत्ति वाले अक्षरों के लिए सूत्र का उपयोग करके व्यवस्थाओं की संख्या ज्ञात करते हैं।