Find the number of different 8-letter arrangements that can be made from the letters of the word DAUGHTER so that (i) all vowels occur together (ii) all vowels do not occur together.
Answer: (i) सभी स्वर एक साथ हों: 4320 व्यवस्थाएँ (ii) सभी स्वर एक साथ न हों: 36000 व्यवस्थाएँ
Step-by-step solution
Step 1: शब्द का विश्लेषण करें
सबसे पहले, हम दिए गए शब्द 'DAUGHTER' के अक्षरों का विश्लेषण करते हैं। इसमें कुल 8 अक्षर हैं। हम स्वरों और व्यंजनों की पहचान करते हैं। स्वर A, U, E हैं, जिनकी संख्या 3 है। व्यंजन D, G, H, T, R हैं, जिनकी संख्या 5 है।
Step 2: सभी अक्षरों की कुल व्यवस्थाएँ ज्ञात करें
शब्द 'DAUGHTER' में 8 अलग-अलग अक्षर हैं। इन 8 अक्षरों को व्यवस्थित करने के तरीकों की कुल संख्या (8 फैक्टोरियल) होगी।
Step 3: केस (i): सभी स्वर एक साथ हों
जब सभी स्वर एक साथ होते हैं, तो हम स्वरों (A, U, E) को एक इकाई मानते हैं। अब हमारे पास 5 व्यंजन और 1 स्वरों का समूह है, कुल 6 इकाइयाँ। इन 6 इकाइयों को तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। इसके अलावा, स्वरों को आपस में तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। इसलिए, कुल व्यवस्थाएँ होंगी।
Step 4: केस (ii): सभी स्वर एक साथ न हों
सभी स्वर एक साथ न होने की व्यवस्थाओं की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम कुल व्यवस्थाओं में से उन व्यवस्थाओं को घटाते हैं जहाँ सभी स्वर एक साथ होते हैं।