यदि हम केवल यह शर्त मानते हैं कि प्रत्येक शीर्ष अपने पिछले शीर्ष से भिन्न है, तो कुल 3 × 2^5 = 96 तरीके होंगे। हालांकि, हमें यह भी सुनिश्चित करना होगा कि अंतिम शीर्ष (V_6) पहले शीर्ष (V_1) से भिन्न हो।

यदि हम केवल यह शर्त मानते हैं कि प्रत्येक शीर्ष अपने पिछले शीर्ष से भिन्न है, तो कुल 3 × 2^5 = 96 तरीके होंगे। हालांकि, हमें यह भी सुनिश्चित करना होगा कि अंतिम शीर्ष (V_6) पहले शीर्ष (V_1) से भिन्न हो।

Find the number of ways to color the vertices of a regular hexagon with 3 colors such that no two adjacent vertices have the same color.

Answer: एक नियमित षट्भुज के शीर्षों को 3 रंगों से रंगने के तरीकों की संख्या, जहाँ कोई भी दो सन्निकट शीर्ष समान रंग के नहीं हैं, 66 है।

Step-by-step solution

Step 1: पहले शीर्ष को रंगना

एक नियमित षट्भुज के 6 शीर्ष होते हैं। हम पहले शीर्ष ( $V_1$ ) को रंगने से शुरुआत करते हैं। हमारे पास इसे रंगने के लिए 3 विकल्प हैं।

Step 2: दूसरे शीर्ष को रंगना

दूसरा शीर्ष ( $V_2$ ) पहले शीर्ष ( $V_1$ ) के सन्निकट है। इसलिए, $V_2$ का रंग $V_1$ के रंग से भिन्न होना चाहिए। हमारे पास $V_2$ को रंगने के लिए 2 विकल्प हैं।

Step 3: तीसरे शीर्ष को रंगना

तीसरा शीर्ष ( $V_3$ ) दूसरे शीर्ष ( $V_2$ ) के सन्निकट है। इसलिए, $V_3$ का रंग $V_2$ के रंग से भिन्न होना चाहिए। हमारे पास $V_3$ को रंगने के लिए 2 विकल्प हैं।

Step 4: चौथे, पांचवें और छठे शीर्ष को रंगना

इसी तरह, प्रत्येक बाद के शीर्ष को उसके पिछले शीर्ष से भिन्न रंग का होना चाहिए। इसलिए, $V_4, V_5$ और $V_6$ में से प्रत्येक के लिए 2 विकल्प हैं।

Step 5: कुल तरीकों की गणना

यदि हम केवल यह शर्त मानते हैं कि प्रत्येक शीर्ष अपने पिछले शीर्ष से भिन्न है, तो कुल $3 \times 2^5 = 96$ तरीके होंगे। हालांकि, हमें यह भी सुनिश्चित करना होगा कि अंतिम शीर्ष ( $V_6$ ) पहले शीर्ष ( $V_1$ ) से भिन्न हो।

Step 6: चक्रीय रंग के लिए सूत्र

एक $n$ -भुज के शीर्षों को $k$ रंगों से रंगने के तरीकों की संख्या, जहाँ कोई भी दो सन्निकट शीर्ष समान रंग के नहीं हैं, को $P_n(k)$ द्वारा दिया जाता है। यहाँ $n=6$ (षट्भुज) और $k=3$ (रंगों की संख्या) है।

Step 7: मानों को प्रतिस्थापित करना और गणना करना

सूत्र में $n=6$ और $k=3$ के मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें $P_6(3) = (2)^6 + (1)(2) = 64 + 2 = 66$ मिलता है।

Solve your own maths question free →