Find the number of ways to color the vertices of a regular hexagon with 3 colors such that no two adjacent vertices have the same color.
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Step-by-Step Solution
Step 1: पहले शीर्ष को रंगना
एक नियमित षट्भुज के 6 शीर्ष होते हैं। हम पहले शीर्ष (V1) को रंगने से शुरुआत करते हैं। हमारे पास इसे रंगने के लिए 3 विकल्प हैं।
Step 2: दूसरे शीर्ष को रंगना
दूसरा शीर्ष (V2) पहले शीर्ष (V1) के सन्निकट है। इसलिए, V2 का रंग V1 के रंग से भिन्न होना चाहिए। हमारे पास V2 को रंगने के लिए 2 विकल्प हैं।
Step 3: तीसरे शीर्ष को रंगना
तीसरा शीर्ष (V3) दूसरे शीर्ष (V2) के सन्निकट है। इसलिए, V3 का रंग V2 के रंग से भिन्न होना चाहिए। हमारे पास V3 को रंगने के लिए 2 विकल्प हैं।
Step 4: चौथे, पांचवें और छठे शीर्ष को रंगना
इसी तरह, प्रत्येक बाद के शीर्ष को उसके पिछले शीर्ष से भिन्न रंग का होना चाहिए। इसलिए, V4,V5 और V6 में से प्रत्येक के लिए 2 विकल्प हैं।
Step 5: कुल तरीकों की गणना
यदि हम केवल यह शर्त मानते हैं कि प्रत्येक शीर्ष अपने पिछले शीर्ष से भिन्न है, तो कुल 3×25=96 तरीके होंगे। हालांकि, हमें यह भी सुनिश्चित करना होगा कि अंतिम शीर्ष (V6) पहले शीर्ष (V1) से भिन्न हो।
Step 6: चक्रीय रंग के लिए सूत्र
एक n -भुज के शीर्षों को k रंगों से रंगने के तरीकों की संख्या, जहाँ कोई भी दो सन्निकट शीर्ष समान रंग के नहीं हैं, को Pn(k) द्वारा दिया जाता है। यहाँ n=6 (षट्भुज) और k=3 (रंगों की संख्या) है।
Step 7: मानों को प्रतिस्थापित करना और गणना करना
सूत्र में n=6 और k=3 के मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें P6(3)=(2)6+(1)(2)=64+2=66 मिलता है।