Find the radius of a circle with diameter 12+x. A line is drawn from the perimeter to diameter
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Step-by-Step Solution
Step 1: रचना
हम एक रेखा $RT$ खींचते हैं जो $PS$ के समानांतर है और $QP$ को $T$ पर मिलती है। यह रचना हमें त्रिभुज $PQR$ के कोण समद्विभाजक प्रमेय को सिद्ध करने में मदद करेगी।
Step 2: समानांतर रेखाओं के गुण
चूंकि $PS \parallel RT$ और $QT$ एक तिर्यक रेखा है, तो $\angle QPS$ और $\angle QTR$ संगत कोण हैं, इसलिए वे बराबर हैं। इसी प्रकार, $PR$ एक तिर्यक रेखा है, तो $\angle SPR$ और $\angle PRT$ एकांतर आंतरिक कोण हैं, इसलिए वे भी बराबर हैं।
Step 3: समद्विभाजक का उपयोग करना
हमें दिया गया है कि $PS$, $\angle QPR$ का समद्विभाजक है, जिसका अर्थ है कि $\angle QPS = \angle SPR$। पिछले चरण के परिणामों का उपयोग करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि $\angle QTR = \angle PRT$।
Step 4: समद्विबाहु त्रिभुज
त्रिभुज $PRT$ में, यदि दो कोण $\angle QTR$ और $\angle PRT$ बराबर हैं, तो उनके सम्मुख भुजाएँ भी बराबर होंगी। इसलिए, $PT = PR$।
Step 5: आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (BPT) का उपयोग करना
त्रिभुज $QRT$ में, चूंकि $PS \parallel RT$ है, हम आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (BPT) का उपयोग कर सकते हैं। यह प्रमेय कहता है कि यदि एक त्रिभुज की एक भुजा के समानांतर एक रेखा अन्य दो भुजाओं को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटती है, तो वह अन्य दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है।
Step 6: परिणाम को प्रतिस्थापित करना
पिछले चरण में हमने पाया कि $PT = PR$। इस परिणाम को BPT समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें $\frac{QS}{SR} = \frac{QP}{PR}$ प्राप्त होता है। यही हमें सिद्ध करना था।