Find the shape of a flexible cable hanging between two points that minimizes its potential energy (catenary problem).

Answer: एक लचीली केबल का आकार जो दो बिंदुओं के बीच लटकी हुई है और जिसकी स्थितिज ऊर्जा न्यूनतम है, एक कैटेनरी है, जिसका समीकरण y=acosh⁡(x−ba)y = a \cosh\left(\frac{x-b}{a}\right) द्वारा दिया गया है।

Step-by-step solution

Step 1: समस्या को समझना

हमें एक लचीली केबल का आकार ज्ञात करना है जो दो बिंदुओं के बीच लटकी हुई है और जिसकी स्थितिज ऊर्जा न्यूनतम है। यह कैटेनरी समस्या के रूप में जानी जाती है। स्थितिज ऊर्जा VV को केबल के प्रत्येक छोटे खंड की ऊर्जा को एकीकृत करके व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ ρ\rho प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान है, gg गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है, और yy केबल की ऊँचाई है।

Step 2: यूलर-लैग्रेंज समीकरण का उपयोग करना

न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा के लिए, हमें यूलर-लैग्रेंज समीकरण का उपयोग करना होगा। यहाँ, हमारा फलन f(y,y′)=ρgy1+(y′)2f(y, y') = \rho g y \sqrt{1 + (y')^2} है। यह समीकरण हमें वह अवकल समीकरण देगा जिसे केबल का आकार संतुष्ट करता है।

Step 3: अवकल समीकरण प्राप्त करना

यूलर-लैग्रेंज समीकरण में ff के आंशिक अवकलज की गणना करने और उन्हें प्रतिस्थापित करने पर, हमें यह अवकल समीकरण प्राप्त होता है। यह समीकरण केबल के आकार का वर्णन करता है।

Step 4: अवकल समीकरण को हल करना

उपरोक्त अवकल समीकरण को हल करने पर, हमें केबल के आकार के लिए यह समीकरण प्राप्त होता है। यह एक कैटेनरी का समीकरण है, जहाँ aa और bb स्थिरांक हैं जो केबल की लंबाई और उसके अंत बिंदुओं की स्थिति पर निर्भर करते हैं। cosh⁡\cosh अतिपरवलयिक कोसाइन फलन है।

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