दी गई रेखाएँ सदिश रूप में हैं r = a_1 + b_1 और r = a_2 + b_2। हमें पहले इन रेखाओं से a_1, b_1, a_2, और b_2 के मानों को पहचानना होगा।

दी गई रेखाएँ सदिश रूप में हैं r = a_1 + b_1 और r = a_2 + b_2। हमें पहले इन रेखाओं से a_1, b_1, a_2, और b_2 के मानों को पहचानना होगा।

पहली रेखा से, हमें a_1 = i + 2 j + k और b_1 = i - j + k प्राप्त होता है। दूसरी रेखा से, हमें a_2 = 2 i - j - k और b_2 = 2 i + j + 2 k प्राप्त होता है।

पहली रेखा से, हमें a_1 = i + 2 j + k और b_1 = i - j + k प्राप्त होता है। दूसरी रेखा से, हमें a_2 = 2 i - j - k और b_2 = 2 i + j + 2 k प्राप्त होता है।

दो रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए, हमें a_2 - a_1 की गणना करने की आवश्यकता है, जो कि दो रेखाओं पर स्थित दो बिंदुओं के स्थिति सदिशों का अंतर है।

दो रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए, हमें a_2 - a_1 की गणना करने की आवश्यकता है, जो कि दो रेखाओं पर स्थित दो बिंदुओं के स्थिति सदिशों का अंतर है।

हमें ( a_2 - a_1) और ( b_1 × b_2) का अदिश उत्पाद ज्ञात करना होगा। यह न्यूनतम दूरी सूत्र का अंश है।

हमें ( a_2 - a_1) और ( b_1 × b_2) का अदिश उत्पाद ज्ञात करना होगा। यह न्यूनतम दूरी सूत्र का अंश है।

दो रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी के लिए सूत्र है d = | ( a_2 - a_1) · ( b_1 × b_2)| b_1 × b_2||। अब हम सभी गणना किए गए मानों को इस सूत्र में प्रतिस्थापित करेंगे।

दो रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी के लिए सूत्र है d = | ( a_2 - a_1) · ( b_1 × b_2)| b_1 × b_2||। अब हम सभी गणना किए गए मानों को इस सूत्र में प्रतिस्थापित करेंगे।

अब हम पिछले चरणों में पाए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं: ( a_2 - a_1) · ( b_1 × b_2) = -9 और | b_1 × b_2| = 3√2। परिणाम को सरल बनाने पर हमें न्यूनतम दूरी प्राप्त होती है।

अब हम पिछले चरणों में पाए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं: ( a_2 - a_1) · ( b_1 × b_2) = -9 और | b_1 × b_2| = 3√2। परिणाम को सरल बनाने पर हमें न्यूनतम दूरी प्राप्त होती है।

Find the shortest distance between the lines $r = (i + 2j + k) + lambda(i - j + k)$ and $r = (2i - j - k) + mu(2i + j + 2k)$ .

Answer: रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ है।

Step-by-step solution

Step 1: रेखाओं का सदिश रूप पहचानें

दी गई रेखाएँ सदिश रूप में हैं $\vec{r} = \vec{a}_{1} + \lambda\vec{b}_{1}$ और $\vec{r} = \vec{a}_{2} + \mu\vec{b}_{2}$ । हमें पहले इन रेखाओं से $\vec{a}_{1}$ , $\vec{b}_{1}$ , $\vec{a}_{2}$ , और $\vec{b}_{2}$ के मानों को पहचानना होगा।

Step 2: सदिश $\vec{a}_{1}$ , $\vec{b}_{1}$ , $\vec{a}_{2}$ , $\vec{b}_{2}$ निर्धारित करें

पहली रेखा से, हमें $\vec{a}_{1} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b}_{1} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ प्राप्त होता है। दूसरी रेखा से, हमें $\vec{a}_{2} = 2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b}_{2} = 2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ प्राप्त होता है।

Step 3: $\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1}$ की गणना करें

दो रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए, हमें $\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1}$ की गणना करने की आवश्यकता है, जो कि दो रेखाओं पर स्थित दो बिंदुओं के स्थिति सदिशों का अंतर है।

Step 4: $\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}$ की गणना करें

हमें सदिश $\vec{b}_{1}$ और $\vec{b}_{2}$ का क्रॉस उत्पाद भी ज्ञात करना होगा। यह क्रॉस उत्पाद दोनों रेखाओं के समानांतर एक सदिश देता है और न्यूनतम दूरी के सूत्र का एक महत्वपूर्ण घटक है।

Step 5: $|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}|$ का परिमाण ज्ञात करें

अब हम $\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}$ का परिमाण ज्ञात करते हैं। यह मान सूत्र के भाजक में उपयोग किया जाएगा और हमें न्यूनतम दूरी प्राप्त करने में मदद करेगा।

Step 6: $(\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1}) \cdot (\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2})$ की गणना करें

हमें $(\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1})$ और $(\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2})$ का अदिश उत्पाद ज्ञात करना होगा। यह न्यूनतम दूरी सूत्र का अंश है।

Step 7: न्यूनतम दूरी के सूत्र का उपयोग करें

दो रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी के लिए सूत्र है $d = \left|\frac{(\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1}) \cdot (\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2})}{|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}|}\right|$ । अब हम सभी गणना किए गए मानों को इस सूत्र में प्रतिस्थापित करेंगे।

Step 8: न्यूनतम दूरी की गणना करें

अब हम पिछले चरणों में पाए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं: $(\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1}) \cdot (\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}) = -9$ और $|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}| = 3\sqrt{2}$ । परिणाम को सरल बनाने पर हमें न्यूनतम दूरी प्राप्त होती है।

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Find the shortest distance between the lines r=(i+2j+k)+lambda∗(i−j+k)r = (i + 2j + k) + lambda*(i - j + k)r=(i+2j+k)+lambda∗(i−j+k) and r=(2i−j−k)+mu∗(2i+j+2k)r = (2i - j - k) + mu*(2i + j + 2k)r=(2i−j−k)+mu∗(2i+j+2k).

Step-by-step solution

Step 1: रेखाओं का सदिश रूप पहचानें

Step 2: सदिश a⃗1\vec{a}_{1}a1​, b⃗1\vec{b}_{1}b1​, a⃗2\vec{a}_{2}a2​, b⃗2\vec{b}_{2}b2​ निर्धारित करें

Step 3: a⃗2−a⃗1\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1}a2​−a1​ की गणना करें

Step 4: b⃗1×b⃗2\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}b1​×b2​ की गणना करें

Step 5: ∣b⃗1×b⃗2∣|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}|∣b1​×b2​∣ का परिमाण ज्ञात करें

Step 6: (a⃗2−a⃗1)⋅(b⃗1×b⃗2)(\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1}) \cdot (\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2})(a2​−a1​)⋅(b1​×b2​) की गणना करें