Find the shortest distance between the lines r=(i+2j+k)+lambda∗(i−j+k) and r=(2i−j−k)+mu∗(2i+j+2k).
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Step-by-Step Solution
Step 1: रेखाओं का सदिश रूप पहचानें
दी गई रेखाएँ सदिश रूप में हैं r=a1+λb1 और r=a2+μb2 । हमें पहले इन रेखाओं से a1, b1, a2, और b2 के मानों को पहचानना होगा।
Step 2: सदिश a1, b1, a2, b2 निर्धारित करें
पहली रेखा से, हमें a1=i^+2j^+k^ और b1=i^−j^+k^ प्राप्त होता है। दूसरी रेखा से, हमें a2=2i^−j^−k^ और b2=2i^+j^+2k^ प्राप्त होता है।
Step 3: a2−a1 की गणना करें
दो रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए, हमें a2−a1 की गणना करने की आवश्यकता है, जो कि दो रेखाओं पर स्थित दो बिंदुओं के स्थिति सदिशों का अंतर है।
Step 4: b1×b2 की गणना करें
हमें सदिश b1 और b2 का क्रॉस उत्पाद भी ज्ञात करना होगा। यह क्रॉस उत्पाद दोनों रेखाओं के समानांतर एक सदिश देता है और न्यूनतम दूरी के सूत्र का एक महत्वपूर्ण घटक है।
Step 5: ∣b1×b2∣ का परिमाण ज्ञात करें
अब हम b1×b2 का परिमाण ज्ञात करते हैं। यह मान सूत्र के भाजक में उपयोग किया जाएगा और हमें न्यूनतम दूरी प्राप्त करने में मदद करेगा।
Step 6: (a2−a1)⋅(b1×b2) की गणना करें
हमें (a2−a1) और (b1×b2) का अदिश उत्पाद ज्ञात करना होगा। यह न्यूनतम दूरी सूत्र का अंश है।
Step 7: न्यूनतम दूरी के सूत्र का उपयोग करें
दो रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी के लिए सूत्र है d=∣b1×b2∣(a2−a1)⋅(b1×b2) । अब हम सभी गणना किए गए मानों को इस सूत्र में प्रतिस्थापित करेंगे।
Step 8: न्यूनतम दूरी की गणना करें
अब हम पिछले चरणों में पाए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं: (a2−a1)⋅(b1×b2)=−9 और ∣b1×b2∣=32 । परिणाम को सरल बनाने पर हमें न्यूनतम दूरी प्राप्त होती है।