Find the shortest distance between the skew lines: r⃗₁ = (i + j + k) + λ(2i+3j+4k2i + 3j + 4k) and r⃗₂ = (2i+3j+5k2i + 3j + 5k) + μ(i + 2j+3k2j + 3k).

Answer: दो विषम रेखीय रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी 66\frac{\sqrt{6}}{6} है।

Step-by-step solution

Step 1: दिए गए सदिशों की पहचान करें

दी गई रेखाओं के समीकरण r⃗=a⃗+λb⃗\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b} के रूप में हैं। हम पहली रेखा से a⃗1\vec{a}_1 और b⃗1\vec{b}_1 और दूसरी रेखा से a⃗2\vec{a}_2 और b⃗2\vec{b}_2 की पहचान करते हैं।

Step 2: सदिश a⃗2−a⃗1\vec{a}_2 - \vec{a}_1 ज्ञात करें

न्यूनतम दूरी के सूत्र के लिए हमें a⃗2−a⃗1\vec{a}_2 - \vec{a}_1 की गणना करने की आवश्यकता है, जो दो रेखाओं पर बिंदुओं के बीच का सदिश है।

Step 3: सदिश b⃗1×b⃗2\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 ज्ञात करें

न्यूनतम दूरी के सूत्र में b⃗1×b⃗2\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 की आवश्यकता होती है, जो दोनों दिशा सदिशों के लंबवत एक सदिश है। यह दोनों विषम रेखीय रेखाओं के लंबवत सदिश की दिशा देता है।

Step 4: न्यूनतम दूरी का सूत्र लागू करें

दो विषम रेखीय रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी का सूत्र यह है। यह सूत्र दो रेखाओं के बीच के सदिश के प्रक्षेप को उन दोनों रेखाओं के लंबवत सदिश पर देता है।

Step 5: अंश की गणना करें

अब हम सूत्र के अंश की गणना करते हैं, जो a⃗2−a⃗1\vec{a}_2 - \vec{a}_1 और b⃗1×b⃗2\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 का अदिश गुणनफल है।

Step 6: हर की गणना करें

अब हम सूत्र के हर की गणना करते हैं, जो b⃗1×b⃗2\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 का परिमाण है।

Step 7: न्यूनतम दूरी ज्ञात करें

अंश और हर के मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें विषम रेखीय रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी प्राप्त होती है।

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