Find the singular value decomposition (SVD) of A=[[3,2,2],[2,3,−2]]A = [[3, 2, 2], [2, 3, -2]].

Answer: A=[1/21/21/2−1/2][500030][1/21/201/(32)−1/(32)4/(32)2/3−2/3−1/3]A = \begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} & 0 \\ 1/(3\sqrt{2}) & -1/(3\sqrt{2}) & 4/(3\sqrt{2}) \\ 2/3 & -2/3 & -1/3 \end{bmatrix}

Step-by-step solution

Step 1: ATAA^T A की गणना करें

SVD ज्ञात करने के लिए, हम पहले ATAA^T A की गणना करते हैं। यह एक सममित मैट्रिक्स है जिसके आइगेनवैल्यू और आइगेनवेक्टर हमें VV और Σ\Sigma मैट्रिक्स बनाने में मदद करेंगे।

Step 2: ATAA^T A के आइगेनवैल्यू ज्ञात करें

अब, हम ATAA^T A के आइगेनवैल्यू ज्ञात करते हैं। ये आइगेनवैल्यू हमें सिंगुलर वैल्यूज़ (σ\sigma) देंगे। हम अभिलाक्षणिक समीकरण det⁡(ATA−λI)=0\det(A^T A - \lambda I) = 0 को हल करके आइगेनवैल्यू प्राप्त करते हैं।

Step 3: सिंगुलर वैल्यूज़ ज्ञात करें

सिंगुलर वैल्यूज़ σi\sigma_i आइगेनवैल्यू λi\lambda_i के वर्गमूल होते हैं। हम उन्हें घटते क्रम में व्यवस्थित करते हैं और Σ\Sigma मैट्रिक्स बनाते हैं, जिसका आकार AA के समान होता है।

Step 4: ATAA^T A के आइगेनवेक्टर ज्ञात करें और VV मैट्रिक्स बनाएं

प्रत्येक आइगेनवैल्यू के लिए, हम संगत आइगेनवेक्टर ज्ञात करते हैं और उन्हें सामान्यीकृत करते हैं ताकि वे इकाई वेक्टर बन जाएं। ये आइगेनवेक्टर VV मैट्रिक्स के कॉलम बनाते हैं।

Step 5: UU मैट्रिक्स ज्ञात करें

हम UU मैट्रिक्स के कॉलम ui=1σiAviu_i = \frac{1}{\sigma_i} A v_i का उपयोग करके ज्ञात करते हैं। यदि AA के कॉलम की संख्या AA के पंक्तियों की संख्या से अधिक है, तो हमें UU के लिए ऑर्थोनॉर्मल आधार को पूरा करने के लिए अतिरिक्त आइगेनवेक्टर ज्ञात करने की आवश्यकता हो सकती है। इस मामले में, u1u_1 और u2u_2 पहले से ही एक ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाते हैं।

Step 6: SVD को इकट्ठा करें

अंत में, हम SVD को A=UΣVTA = U \Sigma V^T के रूप में लिखते हैं, जहाँ UU, Σ\Sigma, और VV वे मैट्रिक्स हैं जिनकी हमने गणना की है।

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