Find the singular value decomposition (SVD) of A=[[3,2,2],[2,3,−2]].
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Step-by-Step Solution
Step 1: ATA की गणना करें
SVD ज्ञात करने के लिए, हम पहले ATA की गणना करते हैं। यह एक सममित मैट्रिक्स है जिसके आइगेनवैल्यू और आइगेनवेक्टर हमें V और Σ मैट्रिक्स बनाने में मदद करेंगे।
Step 2: ATA के आइगेनवैल्यू ज्ञात करें
अब, हम ATA के आइगेनवैल्यू ज्ञात करते हैं। ये आइगेनवैल्यू हमें सिंगुलर वैल्यूज़ (σ) देंगे। हम अभिलाक्षणिक समीकरण det(ATA−λI)=0 को हल करके आइगेनवैल्यू प्राप्त करते हैं।
Step 3: सिंगुलर वैल्यूज़ ज्ञात करें
सिंगुलर वैल्यूज़ σi आइगेनवैल्यू λi के वर्गमूल होते हैं। हम उन्हें घटते क्रम में व्यवस्थित करते हैं और Σ मैट्रिक्स बनाते हैं, जिसका आकार A के समान होता है।
Step 4: ATA के आइगेनवेक्टर ज्ञात करें और V मैट्रिक्स बनाएं
प्रत्येक आइगेनवैल्यू के लिए, हम संगत आइगेनवेक्टर ज्ञात करते हैं और उन्हें सामान्यीकृत करते हैं ताकि वे इकाई वेक्टर बन जाएं। ये आइगेनवेक्टर V मैट्रिक्स के कॉलम बनाते हैं।
Step 5: U मैट्रिक्स ज्ञात करें
हम U मैट्रिक्स के कॉलम ui=σi1Avi का उपयोग करके ज्ञात करते हैं। यदि A के कॉलम की संख्या A के पंक्तियों की संख्या से अधिक है, तो हमें U के लिए ऑर्थोनॉर्मल आधार को पूरा करने के लिए अतिरिक्त आइगेनवेक्टर ज्ञात करने की आवश्यकता हो सकती है। इस मामले में, u1 और u2 पहले से ही एक ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाते हैं।
Step 6: SVD को इकट्ठा करें
अंत में, हम SVD को A=UΣVT के रूप में लिखते हैं, जहाँ U, Σ, और V वे मैट्रिक्स हैं जिनकी हमने गणना की है।