अब हम (x²)^n को x²n के रूप में सरल करते हैं। यह f(x) = e^x² के लिए टेलर श्रृंखला विस्तार है।

अब हम (x²)^n को x²n के रूप में सरल करते हैं। यह f(x) = e^x² के लिए टेलर श्रृंखला विस्तार है।

अभिसरण अंतराल निर्धारित करने के लिए, हम अनुपात परीक्षण का उपयोग करते हैं। हम a_n = x²nn! लेते हैं और lim_n → ∞ | (a_n+1)/(a_n) | की गणना करते हैं। चूंकि सीमा 0 है, जो 1 से कम है, श्रृंखला सभी वास्तविक संख्याओं के लिए अभिसरित होती है।

अभिसरण अंतराल निर्धारित करने के लिए, हम अनुपात परीक्षण का उपयोग करते हैं। हम a_n = x²nn! लेते हैं और lim_n → ∞ | (a_n+1)/(a_n) | की गणना करते हैं। चूंकि सीमा 0 है, जो 1 से कम है, श्रृंखला सभी वास्तविक संख्याओं के लिए अभिसरित होती है।

Find the Taylor series expansion of f(x) = e^(x²) centered at $x = 0$ and determine its interval of convergence.

Answer: टेलर श्रृंखला विस्तार है $e^{x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{n!}$ और इसका अभिसरण अंतराल $(-\infty, \infty)$ है।

Step-by-step solution

Step 1: मौलिक मैकलॉरिन श्रृंखला का उपयोग करें

हम जानते हैं कि $e^u$ के लिए मैकलॉरिन श्रृंखला (जो $x=0$ पर केंद्रित एक टेलर श्रृंखला है) इस प्रकार दी गई है। यह एक मानक श्रृंखला है जिसे हम $e^{x^2}$ के लिए श्रृंखला प्राप्त करने के लिए उपयोग कर सकते हैं।

Step 2: प्रतिस्थापन करें

फलन $f(x) = e^{x^2}$ के लिए टेलर श्रृंखला प्राप्त करने के लिए, हम $e^u$ की मैकलॉरिन श्रृंखला में $u$ को $x^2$ से प्रतिस्थापित करते हैं।

Step 3: श्रृंखला को सरल करें

अब हम $(x^2)^n$ को $x^{2n}$ के रूप में सरल करते हैं। यह $f(x) = e^{x^2}$ के लिए टेलर श्रृंखला विस्तार है।

Step 4: अभिसरण अंतराल निर्धारित करें

अभिसरण अंतराल निर्धारित करने के लिए, हम अनुपात परीक्षण का उपयोग करते हैं। हम $a_n = \frac{x^{2n}}{n!}$ लेते हैं और $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$ की गणना करते हैं। चूंकि सीमा $0$ है, जो $1$ से कम है, श्रृंखला सभी वास्तविक संख्याओं के लिए अभिसरित होती है।

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