Find the Taylor series expansion of f(x) = e^(x²) centered at x=0 and determine its interval of convergence.
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Step-by-Step Solution
Step 1: मौलिक मैकलॉरिन श्रृंखला का उपयोग करें
हम जानते हैं कि eu के लिए मैकलॉरिन श्रृंखला (जो x=0 पर केंद्रित एक टेलर श्रृंखला है) इस प्रकार दी गई है। यह एक मानक श्रृंखला है जिसे हम ex2 के लिए श्रृंखला प्राप्त करने के लिए उपयोग कर सकते हैं।
Step 2: प्रतिस्थापन करें
फलन f(x)=ex2 के लिए टेलर श्रृंखला प्राप्त करने के लिए, हम eu की मैकलॉरिन श्रृंखला में u को x2 से प्रतिस्थापित करते हैं।
Step 3: श्रृंखला को सरल करें
अब हम (x2)n को x2n के रूप में सरल करते हैं। यह f(x)=ex2 के लिए टेलर श्रृंखला विस्तार है।
Step 4: अभिसरण अंतराल निर्धारित करें
अभिसरण अंतराल निर्धारित करने के लिए, हम अनुपात परीक्षण का उपयोग करते हैं। हम an=nx2n! लेते हैं और limn→∞anan+1 की गणना करते हैं। चूंकि सीमा 0 है, जो 1 से कम है, श्रृंखला सभी वास्तविक संख्याओं के लिए अभिसरित होती है।