हम जानते हैं कि sin फलन आवधिक होता है जिसकी अवधि 2π होती है। इसका मतलब है कि किसी भी पूर्णांक n के लिए, sin(2nπ + θ) = sin θ। यहाँ, 10π को 2 × 5 × π के रूप में लिखा जा सकता है, जो 2π का एक गुणज है।

हम जानते हैं कि sin फलन आवधिक होता है जिसकी अवधि 2π होती है। इसका मतलब है कि किसी भी पूर्णांक n के लिए, sin(2nπ + θ) = sin θ। यहाँ, 10π को 2 × 5 × π के रूप में लिखा जा सकता है, जो 2π का एक गुणज है।

उपरोक्त पहचान का उपयोग करते हुए, हम 10π को हटा सकते हैं क्योंकि यह 2π का एक गुणज है। इसलिए, sin ( 10π + (π)/(3)) का मान sin ( (π)/(3)) के बराबर होगा।

उपरोक्त पहचान का उपयोग करते हुए, हम 10π को हटा सकते हैं क्योंकि यह 2π का एक गुणज है। इसलिए, sin ( 10π + (π)/(3)) का मान sin ( (π)/(3)) के बराबर होगा।

हमें पता है कि sin ( (π)/(3)) का मान (√3)/(2) होता है। यह एक मानक त्रिकोणमितीय मान है जो 60^° के कोण के लिए होता है।

हमें पता है कि sin ( (π)/(3)) का मान (√3)/(2) होता है। यह एक मानक त्रिकोणमितीय मान है जो 60^° के कोण के लिए होता है।

Find the value of $\sin \frac{31 \pi}{3}$ .

Answer: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Step-by-step solution

Step 1: कोण को सरल करें

हम दिए गए कोण $\frac{31\pi}{3}$ को सरल करके शुरू करते हैं। हम इसे $2\pi$ के गुणज और एक छोटे कोण के योग के रूप में लिख सकते हैं। $31$ को $3$ से विभाजित करने पर भागफल $10$ और शेषफल $1$ मिलता है, इसलिए $\frac{31\pi}{3} = 10\pi + \frac{\pi}{3}$ ।

Step 2: त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करें

हम जानते हैं कि $\sin$ फलन आवधिक होता है जिसकी अवधि $2\pi$ होती है। इसका मतलब है कि किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए, $\sin(2n\pi + \theta) = \sin \theta$ । यहाँ, $10\pi$ को $2 \times 5 \times \pi$ के रूप में लिखा जा सकता है, जो $2\pi$ का एक गुणज है।

Step 3: मान प्रतिस्थापित करें

उपरोक्त पहचान का उपयोग करते हुए, हम $10\pi$ को हटा सकते हैं क्योंकि यह $2\pi$ का एक गुणज है। इसलिए, $\sin \left( 10\pi + \frac{\pi}{3} \right)$ का मान $\sin \left( \frac{\pi}{3} \right)$ के बराबर होगा।

Step 4: अंतिम मान ज्ञात करें

हमें पता है कि $\sin \left( \frac{\pi}{3} \right)$ का मान $\frac{\sqrt{3}}{2}$ होता है। यह एक मानक त्रिकोणमितीय मान है जो $60^\circ$ के कोण के लिए होता है।

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