Find the value of the definite integral: ∫0π1+cos2(x)xsin(x)dx
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Step-by-Step Solution
Step 1: निश्चित समाकल को I मानें
सबसे पहले, हम दिए गए निश्चित समाकल को I के बराबर मान लेते हैं। यह हमें बाद की गणनाओं के लिए एक सुविधाजनक संकेतन देता है।
Step 2: गुणधर्म ∫abf(x)dx=∫abf(a+b−x)dx लागू करें
एक निश्चित समाकल का गुणधर्म, ∫abf(x)dx=∫abf(a+b−x)dx, का उपयोग करने पर, हम x को (π−x) से प्रतिस्थापित करते हैं। यह हमें समाकल के मान को बदले बिना फलन को बदलने की अनुमति देता है।
Step 3: त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करें
हम जानते हैं कि sin(π−x)=sin(x) और cos(π−x)=−cos(x) । इन त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं को समाकल में प्रतिस्थापित करने पर, हमें एक नया व्यंजक प्राप्त होता है।
Step 4: समीकरण (1) और (2) को जोड़ें
अब हम मूल समाकल (समीकरण 1) और संशोधित समाकल (समीकरण 2) को जोड़ते हैं। यह चाल हमें x पद को हर में रद्द करने में मदद करती है, जिससे समाकल को हल करना आसान हो जाता है।
Step 5: समाकलित करें
योग करने पर, अंश बन जाता है (x+π−x)sin(x)=πsin(x) । अब हम समाकल से π को बाहर निकाल सकते हैं।
Step 6: t=cos(x) का प्रतिस्थापन करें
समाकल को सरल बनाने के लिए, हम t=cos(x) का प्रतिस्थापन करते हैं। फिर, हमें dt के लिए x के सापेक्ष t का अवकलन करना होगा।
Step 7: सीमाओं को बदलें
t=cos(x) प्रतिस्थापन का उपयोग करते हुए, हमें समाकलन की सीमाओं को परिवर्तित करना होगा। जब x=0, t=1 होता है, और जब x=π, t=−1 होता है।
Step 8: प्रतिस्थापन के साथ समाकल को फिर से लिखें
अब हम समाकल को नए चर t और इसकी सीमाओं के संदर्भ में फिर से लिखते हैं। sin(x)dx को −dt से और 1+cos2(x) को 1+t2 से प्रतिस्थापित किया जाता है।
Step 9: समाकल के गुणों का उपयोग करें
हम समाकल के गुण ∫abf(x)dx=−∫baf(x)dx का उपयोग करते हैं ताकि सीमाओं को पलटा जा सके और ऋण चिह्न को बाहर निकाला जा सके।
Step 10: समाकल का मूल्यांकन करें
हम जानते हैं कि ∫1+t21dt=tan−1(t)+C । अब हम ऊपरी और निचली सीमा पर tan−1(t) का मूल्यांकन करते हैं।
Step 11: tan−1(t) के मानों की गणना करें
हम जानते हैं कि tan−1(1)=4π और tan−1(−1)=−4π । इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर और सरल करने पर, हम 2I के लिए एक व्यंजक प्राप्त करते हैं।
Step 12: I के लिए हल करें
अंत में, हम I के लिए हल करने के लिए दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करते हैं, इस प्रकार मूल निश्चित समाकल का मान प्राप्त होता है।