Find the value of the definite integral: ∫0πxsin⁡(x)1+cos⁡2(x)dx\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin(x)}{1 + \cos^2(x)} dx

Answer: π24\frac{\pi^2}{4}

Step-by-step solution

Step 1: निश्चित समाकल को II मानें

सबसे पहले, हम दिए गए निश्चित समाकल को II के बराबर मान लेते हैं। यह हमें बाद की गणनाओं के लिए एक सुविधाजनक संकेतन देता है।

Step 2: गुणधर्म ∫abf(x)dx=∫abf(a+b−x)dx\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx लागू करें

एक निश्चित समाकल का गुणधर्म, ∫abf(x)dx=∫abf(a+b−x)dx\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx, का उपयोग करने पर, हम xx को (π−x)(\pi - x) से प्रतिस्थापित करते हैं। यह हमें समाकल के मान को बदले बिना फलन को बदलने की अनुमति देता है।

Step 3: त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करें

हम जानते हैं कि sin⁡(π−x)=sin⁡(x)\sin(\pi - x) = \sin(x) और cos⁡(π−x)=−cos⁡(x)\cos(\pi - x) = -\cos(x) । इन त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं को समाकल में प्रतिस्थापित करने पर, हमें एक नया व्यंजक प्राप्त होता है।

Step 4: समीकरण (1) और (2) को जोड़ें

अब हम मूल समाकल (समीकरण 1) और संशोधित समाकल (समीकरण 2) को जोड़ते हैं। यह चाल हमें xx पद को हर में रद्द करने में मदद करती है, जिससे समाकल को हल करना आसान हो जाता है।

Step 5: समाकलित करें

योग करने पर, अंश बन जाता है (x+π−x)sin⁡(x)=πsin⁡(x)(x + \pi - x)\sin(x) = \pi \sin(x) । अब हम समाकल से π\pi को बाहर निकाल सकते हैं।

Step 6: t=cos⁡(x)t = \cos(x) का प्रतिस्थापन करें

समाकल को सरल बनाने के लिए, हम t=cos⁡(x)t = \cos(x) का प्रतिस्थापन करते हैं। फिर, हमें dtdt के लिए xx के सापेक्ष tt का अवकलन करना होगा।

Step 7: सीमाओं को बदलें

t=cos⁡(x)t = \cos(x) प्रतिस्थापन का उपयोग करते हुए, हमें समाकलन की सीमाओं को परिवर्तित करना होगा। जब x=0x=0, t=1t=1 होता है, और जब x=πx=\pi, t=−1t=-1 होता है।

Step 8: प्रतिस्थापन के साथ समाकल को फिर से लिखें

अब हम समाकल को नए चर tt और इसकी सीमाओं के संदर्भ में फिर से लिखते हैं। sin⁡(x)dx\sin(x) dx को −dt-dt से और 1+cos⁡2(x)1+\cos^2(x) को 1+t21+t^2 से प्रतिस्थापित किया जाता है।

Step 9: समाकल के गुणों का उपयोग करें

हम समाकल के गुण ∫abf(x)dx=−∫baf(x)dx\int_{a}^{b} f(x) dx = -\int_{b}^{a} f(x) dx का उपयोग करते हैं ताकि सीमाओं को पलटा जा सके और ऋण चिह्न को बाहर निकाला जा सके।

Step 10: समाकल का मूल्यांकन करें

हम जानते हैं कि ∫11+t2dt=tan⁡−1(t)+C\int \frac{1}{1 + t^2} dt = \tan^{-1}(t) + C । अब हम ऊपरी और निचली सीमा पर tan⁡−1(t)\tan^{-1}(t) का मूल्यांकन करते हैं।

Step 11: tan⁡−1(t)\tan^{-1}(t) के मानों की गणना करें

हम जानते हैं कि tan⁡−1(1)=π4\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4} और tan⁡−1(−1)=−π4\tan^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{4} । इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर और सरल करने पर, हम 2I2I के लिए एक व्यंजक प्राप्त करते हैं।

Step 12: II के लिए हल करें

अंत में, हम II के लिए हल करने के लिए दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करते हैं, इस प्रकार मूल निश्चित समाकल का मान प्राप्त होता है।

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