For an integer n ≥2 if the arithmetic mean of all coefficients in the binomial expansion of (x + y)^{2n-3} is 16, then the distance of the point P(2n-1, n2−4n) from the line x + y=8 is:
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Step-by-Step Solution
Step 1: गुणांकों का अंकगणितीय माध्य ज्ञात करना
द्विपद विस्तार (x+y)m में, सभी गुणांकों का योग 2m होता है। यहाँ, m=2n−3 है। गुणांकों की संख्या m+1 होती है। प्रश्न के अनुसार, गुणांकों का अंकगणितीय माध्य 16 दिया गया है।
Step 2: n का मान ज्ञात करना
गुणांकों के योग और गुणांकों की संख्या के सूत्र का उपयोग करके, हम n के लिए एक समीकरण स्थापित करते हैं। इसे सरल करके, हम n का मान ज्ञात कर सकते हैं।
Step 3: समीकरण को हल करना
समीकरण को हल करने के लिए, हम दोनों पक्षों को 2 की घात के रूप में व्यक्त करते हैं। 16=24 और 2n−2=2(n−1) होता है।
Step 4: n के लिए मान की जाँच करना
हम n के विभिन्न पूर्णांक मानों के लिए समीकरण की जाँच करते हैं, क्योंकि n≥2 दिया गया है। n=5 के लिए समीकरण संतुष्ट होता है।
Step 5: बिंदु P के निर्देशांक ज्ञात करना
n=5 का मान बिंदु P के निर्देशांकों में प्रतिस्थापित करके, हम बिंदु P के सटीक निर्देशांक ज्ञात करते हैं।
Step 6: बिंदु से रेखा की दूरी ज्ञात करना
एक बिंदु (x1,y1) से रेखा Ax+By+C=0 की दूरी का सूत्र A2+B2∣Ax1+By1+C∣ होता है। हम इस सूत्र का उपयोग करके बिंदु P(9,5) से रेखा x+y=8 की दूरी ज्ञात करते हैं।