हम n के विभिन्न पूर्णांक मानों के लिए समीकरण की जाँच करते हैं, क्योंकि n ≥ 2 दिया गया है। n=5 के लिए समीकरण संतुष्ट होता है।

हम n के विभिन्न पूर्णांक मानों के लिए समीकरण की जाँच करते हैं, क्योंकि n ≥ 2 दिया गया है। n=5 के लिए समीकरण संतुष्ट होता है।

एक बिंदु (x_1, y_1) से रेखा Ax + By + C = 0 की दूरी का सूत्र (|Ax_1 + By_1 + C|)/(√(A² + B²)) होता है। हम इस सूत्र का उपयोग करके बिंदु P(9,5) से रेखा x+y=8 की दूरी ज्ञात करते हैं।

एक बिंदु (x_1, y_1) से रेखा Ax + By + C = 0 की दूरी का सूत्र (|Ax_1 + By_1 + C|)/(√(A² + B²)) होता है। हम इस सूत्र का उपयोग करके बिंदु P(9,5) से रेखा x+y=8 की दूरी ज्ञात करते हैं।

For an integer n $\ge 2$ if the arithmetic mean of all coefficients in the binomial expansion of (x + y)^{ $2n-3$ } is 16, then the distance of the point P( $2n-1, n^2-4n$ ) from the line x + $y = 8$ is:

Answer: $3\sqrt{2}$

Step-by-step solution

Step 1: गुणांकों का अंकगणितीय माध्य ज्ञात करना

द्विपद विस्तार $(x+y)^m$ में, सभी गुणांकों का योग $2^m$ होता है। यहाँ, $m = 2n-3$ है। गुणांकों की संख्या $m+1$ होती है। प्रश्न के अनुसार, गुणांकों का अंकगणितीय माध्य 16 दिया गया है।

Step 2: n का मान ज्ञात करना

गुणांकों के योग और गुणांकों की संख्या के सूत्र का उपयोग करके, हम $n$ के लिए एक समीकरण स्थापित करते हैं। इसे सरल करके, हम $n$ का मान ज्ञात कर सकते हैं।

Step 3: समीकरण को हल करना

समीकरण को हल करने के लिए, हम दोनों पक्षों को 2 की घात के रूप में व्यक्त करते हैं। $16 = 2^4$ और $2n-2 = 2(n-1)$ होता है।

Step 4: n के लिए मान की जाँच करना

हम $n$ के विभिन्न पूर्णांक मानों के लिए समीकरण की जाँच करते हैं, क्योंकि $n \ge 2$ दिया गया है। $n=5$ के लिए समीकरण संतुष्ट होता है।

Step 5: बिंदु P के निर्देशांक ज्ञात करना

$n=5$ का मान बिंदु $P$ के निर्देशांकों में प्रतिस्थापित करके, हम बिंदु $P$ के सटीक निर्देशांक ज्ञात करते हैं।

Step 6: बिंदु से रेखा की दूरी ज्ञात करना

एक बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की दूरी का सूत्र $\frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ होता है। हम इस सूत्र का उपयोग करके बिंदु $P(9{,}5)$ से रेखा $x+y=8$ की दूरी ज्ञात करते हैं।

Solve your own maths question free →

For an integer n ≥2\ge 2≥2 if the arithmetic mean of all coefficients in the binomial expansion of (x + y)^{2n−32n-32n−3} is 16, then the distance of the point P(2n−1,n2−4n2n-1, n^2-4n2n−1,n2−4n) from the line x + y=8y = 8y=8 is: