द्विपद प्रमेय के अनुसार, (1+x)^N के विस्तार में (r+1) -वें पद का गुणांक Nr होता है। यहाँ, N = n+4 है। इसलिए, 5वें, 6वें और 7वें पदों के गुणांक क्रमशः n+44, n+45 और n+46 होंगे।

द्विपद प्रमेय के अनुसार, (1+x)^N के विस्तार में (r+1) -वें पद का गुणांक Nr होता है। यहाँ, N = n+4 है। इसलिए, 5वें, 6वें और 7वें पदों के गुणांक क्रमशः n+44, n+45 और n+46 होंगे।

समीकरण को सरल करने पर, हमें 2 (1)/(5(N-5)) = (1)/((N-4)(N-5)) + (1)/(6) मिलता है। इसे हल करने पर, हमें N² - 21N + 98 = 0 मिलता है, जिसके मूल N=7 या N=14 हैं। चूंकि N = n+4, इसलिए n=3 या n=10। प्रश्न में दिया गया है कि n ≠ 10, इसलिए n=3 और N=7।

समीकरण को सरल करने पर, हमें 2 (1)/(5(N-5)) = (1)/((N-4)(N-5)) + (1)/(6) मिलता है। इसे हल करने पर, हमें N² - 21N + 98 = 0 मिलता है, जिसके मूल N=7 या N=14 हैं। चूंकि N = n+4, इसलिए n=3 या n=10। प्रश्न में दिया गया है कि n ≠ 10, इसलिए n=3 और N=7।

(1+x)^N के विस्तार में सबसे बड़ा गुणांक N N/2 होता है। चूंकि N=7, सबसे बड़ा गुणांक 73 है। 73 = (7 × 6 × 5)/(3 × 2 × 1) = 35।

(1+x)^N के विस्तार में सबसे बड़ा गुणांक N N/2 होता है। चूंकि N=7, सबसे बड़ा गुणांक 73 है। 73 = (7 × 6 × 5)/(3 × 2 × 1) = 35।

For some $n \neq 10$ , let the coefficients of the 5th, 6th and 7th terms in the binomial expansion of $(1 + x)^{n+4}$ be in A.P. Then the largest coefficient in the expansion of $(1 + x)^{n+4}$ is:

Answer: 35

Step-by-step solution

Step 1: द्विपद गुणांकों को ज्ञात करना

द्विपद प्रमेय के अनुसार, $(1+x)^N$ के विस्तार में $(r+1)$ -वें पद का गुणांक $\binom{N}{r}$ होता है। यहाँ, $N = n+4$ है। इसलिए, 5वें, 6वें और 7वें पदों के गुणांक क्रमशः $\binom{n+4}{4}$ , $\binom{n+4}{5}$ और $\binom{n+4}{6}$ होंगे।

Step 2: समांतर श्रेणी की शर्त लागू करना

यदि तीन पद $a, b, c$ समांतर श्रेणी (A.P.) में हैं, तो $2b = a+c$ होता है। इस शर्त को दिए गए गुणांकों पर लागू करने पर हमें यह समीकरण मिलता है।

Step 3: गुणांकों का विस्तार और सरल करना

हम $\binom{N}{r} = \frac{N!}{r!(N-r)!}$ सूत्र का उपयोग करके गुणांकों का विस्तार करते हैं। फिर, हम समीकरण को सरल बनाने के लिए $N!$ और $4!(N-6)!$ से भाग देते हैं।

Step 4: समीकरण को हल करना

समीकरण को सरल करने पर, हमें $2 \frac{1}{5(N-5)} = \frac{1}{(N-4)(N-5)} + \frac{1}{6}$ मिलता है। इसे हल करने पर, हमें $N^2 - 21N + 98 = 0$ मिलता है, जिसके मूल $N=7$ या $N=14$ हैं। चूंकि $N = n+4$ , इसलिए $n=3$ या $n=10$ । प्रश्न में दिया गया है कि $n \neq 10$ , इसलिए $n=3$ और $N=7$ ।

Step 5: सबसे बड़ा गुणांक ज्ञात करना

$(1+x)^N$ के विस्तार में सबसे बड़ा गुणांक $\binom{N}{\lfloor N/2 \rfloor}$ होता है। चूंकि $N=7$ , सबसे बड़ा गुणांक $\binom{7}{3}$ है। $\binom{7}{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ ।

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For some n≠10n \neq 10n=10, let the coefficients of the 5th, 6th and 7th terms in the binomial expansion of (1+x)n+4(1 + x)^{n+4}(1+x)n+4 be in A.P. Then the largest coefficient in the expansion of (1+x)n+4(1 + x)^{n+4}(1+x)n+4 is: