For some n=10, let the coefficients of the 5th, 6th and 7th terms in the binomial expansion of (1+x)n+4 be in A.P. Then the largest coefficient in the expansion of (1+x)n+4 is:
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Step-by-Step Solution
Step 1: द्विपद गुणांकों को ज्ञात करना
द्विपद प्रमेय के अनुसार, (1+x)N के विस्तार में (r+1) -वें पद का गुणांक (rN) होता है। यहाँ, N=n+4 है।
इसलिए, 5वें, 6वें और 7वें पदों के गुणांक क्रमशः (4n+4), (5n+4) और (6n+4) होंगे।
Step 2: समांतर श्रेणी की शर्त लागू करना
यदि तीन पद a, b, c समांतर श्रेणी (A.P.) में हैं, तो 2b=a+c होता है।
इस शर्त को दिए गए गुणांकों पर लागू करने पर हमें यह समीकरण मिलता है।
Step 3: गुणांकों का विस्तार और सरल करना
हम (rN)=rN!!(N−r)! सूत्र का उपयोग करके गुणांकों का विस्तार करते हैं।
फिर, हम समीकरण को सरल बनाने के लिए N! और 4!(N−6)! से भाग देते हैं।
Step 4: समीकरण को हल करना
समीकरण को सरल करने पर, हमें 25(N−5)1=(N−4)(N−5)1+61 मिलता है।
इसे हल करने पर, हमें N2−21N+98=0 मिलता है, जिसके मूल N=7 या N=14 हैं।
चूंकि N=n+4, इसलिए n=3 या n=10 । प्रश्न में दिया गया है कि n=10, इसलिए n=3 और N=7 ।
Step 5: सबसे बड़ा गुणांक ज्ञात करना
(1+x)N के विस्तार में सबसे बड़ा गुणांक (⌊N/2⌋N) होता है।
चूंकि N=7, सबसे बड़ा गुणांक (37) है।
(37)=3×2×17×6×5=35 ।