Frame the Converse for each of the prepositions in questions 1 - 12 then determine if each of the two statements is true or not just by the two statements and their work counter example for each poly statement number one if two lines are parallel then the corresponding angles formed by a transversal are equal number 2 if a quadrilateral is a square then all its angles are equal number three given any triangle ABC let us bisect angles at B and C the bisectors at the incenter now extend the bisectors beyond I till they meet the opposite sides at e and F respectively as soon preposition if a b is equal to AC then i e is equal to if this total this is three questions

उत्तर: 1. विलोम: 'यदि एक तिर्यक रेखा द्वारा बनाए गए संगत कोण बराबर हों, तो दोनों रेखाएँ समांतर होती हैं।' — मूल कथन: सत्य, विलोम: सत्य। 2. विलोम: 'यदि किसी चतुर्भुज के सभी कोण बराबर हों, तो वह एक वर्ग है।' — मूल कथन: सत्य, विलोम: असत्य (प्रति-उदाहरण: आयत)। 3. विलोम: 'त्रिभुज $ABC$ में, यदि $IE = IF$ , तो $AB = AC$ ।' — मूल कथन: सत्य, विलोम: सत्य।

चरण-दर-चरण हल

चरण 1: कथन 1 का विलोम और सत्यता की जाँच

मूल कथन 'यदि दो रेखाएँ समांतर हैं, तो संगत कोण बराबर होते हैं' ज्यामिति का एक मूलभूत परिणाम है, अतः यह सत्य है। इसका विलोम है: 'यदि एक तिर्यक रेखा दो रेखाओं को इस प्रकार प्रतिच्छेद करे कि संगत कोणों का युग्म बराबर हो, तो दोनों रेखाएँ समांतर होती हैं।' संगत कोण अभिगृहीत के विलोम के अनुसार यह विलोम कथन भी सत्य है।

चरण 2: कथन 2 का विलोम और सत्यता की जाँच

मूल कथन सत्य है क्योंकि प्रत्येक वर्ग के सभी कोण समकोण ( $90^\circ$ ) होते हैं। इसका विलोम है: 'यदि किसी चतुर्भुज के सभी कोण बराबर हैं, तो वह एक वर्ग होता है।' यह विलोम असत्य है, क्योंकि एक आयत (rectangle) जिसके सभी कोण $90^\circ$ होते हैं, आवश्यक नहीं कि वह वर्ग हो क्योंकि उसकी आसन्न भुजाएँ बराबर नहीं होती हैं।

चरण 3: कथन 3 का विलोम और सत्यता की जाँच

मूल कथन: समद्विबाहु त्रिभुज ( $AB = AC$ ) में, कोण $\angle B$ और $\angle C$ बराबर होते हैं, जिससे सममिति या त्रिभुजों की सर्वांगसमता द्वारा $IE = IF$ सिद्ध होता है, अतः मूल कथन सत्य है। इसका विलोम है: 'यदि $IE = IF$ , तो $AB = AC$ ।' त्रिभुज के कोण समद्विभाजक खंडों की सममिति के अनुसार यदि अंतःकेंद्र से विपरीत भुजाओं तक के समद्विभाजक खंड $IE$ और $IF$ बराबर हैं, तो त्रिभुज समद्विबाहु ( $AB = AC$ ) होता है, अतः विलोम भी सत्य है।

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