हम जानते हैं कि एक घन समीकरण ax³ + bx² + cx + d = 0 के मूलों α, β, और उसके गुणांकों के बीच निम्नलिखित संबंध होते हैं: α + β + = -b/a, αβ + β + α = c/a, और αβ = -d/a। दिए गए समीकरण x³ - 3x² + 0x + 4 = 0 के लिए, a=1, b=-3, c=0, d=4 है। इन मानों को प्रतिस्थापित करके, हम मूलों के योग, दो मूलों के गुणनफल के योग और तीनों मूलों के गुणनफल का मान ज्ञात करते हैं।

हम जानते हैं कि एक घन समीकरण ax³ + bx² + cx + d = 0 के मूलों α, β, और उसके गुणांकों के बीच निम्नलिखित संबंध होते हैं: α + β + = -b/a, αβ + β + α = c/a, और αβ = -d/a। दिए गए समीकरण x³ - 3x² + 0x + 4 = 0 के लिए, a=1, b=-3, c=0, d=4 है। इन मानों को प्रतिस्थापित करके, हम मूलों के योग, दो मूलों के गुणनफल के योग और तीनों मूलों के गुणनफल का मान ज्ञात करते हैं।

हम जानते हैं कि (α + β +)² = α² + β² + ² + 2(αβ + β + α)। इस सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करके, हम α² + β² + ² का मान ज्ञात कर सकते हैं। पिछले चरण से प्राप्त मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें α² + β² + ² = 9 मिलता है।

हम जानते हैं कि (α + β +)² = α² + β² + ² + 2(αβ + β + α)। इस सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करके, हम α² + β² + ² का मान ज्ञात कर सकते हैं। पिछले चरण से प्राप्त मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें α² + β² + ² = 9 मिलता है।

चूंकि α, β, समीकरण x³ - 3x² + 4 = 0 के मूल हैं, इसलिए वे समीकरण को संतुष्ट करेंगे। इसका मतलब है कि जब हम x के स्थान पर α, β, या रखते हैं, तो समीकरण सत्य होता है। हम प्रत्येक मूल के लिए x³ को 3x² - 4 के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।

चूंकि α, β, समीकरण x³ - 3x² + 4 = 0 के मूल हैं, इसलिए वे समीकरण को संतुष्ट करेंगे। इसका मतलब है कि जब हम x के स्थान पर α, β, या रखते हैं, तो समीकरण सत्य होता है। हम प्रत्येक मूल के लिए x³ को 3x² - 4 के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।

पिछले चरण में हमने α³ = 3α² - 4 प्राप्त किया था। अब, α^4 ज्ञात करने के लिए, हम इस समीकरण को α से गुणा करते हैं। इसी तरह, हम β^4 और ^4 के लिए भी करते हैं।

पिछले चरण में हमने α³ = 3α² - 4 प्राप्त किया था। अब, α^4 ज्ञात करने के लिए, हम इस समीकरण को α से गुणा करते हैं। इसी तरह, हम β^4 और ^4 के लिए भी करते हैं।

पिछले चरण में हमने देखा कि α³ = 3α² - 4, β³ = 3β² - 4, और ³ = 3 ² - 4। इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर, हमें α³ + β³ + ³ = 3(α² + β² + ²) - 4(1+1+1) मिलता है। हमने पहले ही α² + β² + ² = 9 और α + β + = 3 ज्ञात कर लिया है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें α³ + β³ + ³ = 15 मिलता है।

पिछले चरण में हमने देखा कि α³ = 3α² - 4, β³ = 3β² - 4, और ³ = 3 ² - 4। इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर, हमें α³ + β³ + ³ = 3(α² + β² + ²) - 4(1+1+1) मिलता है। हमने पहले ही α² + β² + ² = 9 और α + β + = 3 ज्ञात कर लिया है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें α³ + β³ + ³ = 15 मिलता है।

अब हमारे पास α³ + β³ + ³ = 15 और α + β + = 3 के मान हैं। इन मानों को α^4 + β^4 + ^4 = 3(α³ + β³ + ³) - 4(α + β +) में प्रतिस्थापित करने पर, हम अंतिम परिणाम प्राप्त करते हैं।

अब हमारे पास α³ + β³ + ³ = 15 और α + β + = 3 के मान हैं। इन मानों को α^4 + β^4 + ^4 = 3(α³ + β³ + ³) - 4(α + β +) में प्रतिस्थापित करने पर, हम अंतिम परिणाम प्राप्त करते हैं।

Given that α, β, γ are roots of x³ - 3x² + 4 = 0, find the value of α⁴ + β⁴ + γ⁴.

Answer: $\alpha^4 + \beta^4 + \gamma^4 = 33$

Step-by-step solution

Step 1: मूलों और गुणांकों के बीच संबंध स्थापित करें

हम जानते हैं कि एक घन समीकरण $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ के मूलों $\alpha, \beta, \gamma$ और उसके गुणांकों के बीच निम्नलिखित संबंध होते हैं: $\alpha + \beta + \gamma = -b/a$ , $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = c/a$ , और $\alpha\beta\gamma = -d/a$ । दिए गए समीकरण $x^3 - 3x^2 + 0x + 4 = 0$ के लिए, $a=1, b=-3, c=0, d=4$ है। इन मानों को प्रतिस्थापित करके, हम मूलों के योग, दो मूलों के गुणनफल के योग और तीनों मूलों के गुणनफल का मान ज्ञात करते हैं।

Step 2: $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$ का मान ज्ञात करें

हम जानते हैं कि $(\alpha + \beta + \gamma)^2 = \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 + 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)$ । इस सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करके, हम $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$ का मान ज्ञात कर सकते हैं। पिछले चरण से प्राप्त मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 9$ मिलता है।

Step 3: प्रत्येक मूल समीकरण को संतुष्ट करता है

चूंकि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3 - 3x^2 + 4 = 0$ के मूल हैं, इसलिए वे समीकरण को संतुष्ट करेंगे। इसका मतलब है कि जब हम $x$ के स्थान पर $\alpha, \beta,$ या $\gamma$ रखते हैं, तो समीकरण सत्य होता है। हम प्रत्येक मूल के लिए $x^3$ को $3x^2 - 4$ के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।

Step 4: प्रत्येक मूल की चौथी घात ज्ञात करें

पिछले चरण में हमने $\alpha^3 = 3\alpha^2 - 4$ प्राप्त किया था। अब, $\alpha^4$ ज्ञात करने के लिए, हम इस समीकरण को $\alpha$ से गुणा करते हैं। इसी तरह, हम $\beta^4$ और $\gamma^4$ के लिए भी करते हैं।

Step 5: $\alpha^4 + \beta^4 + \gamma^4$ का मान ज्ञात करें

अब हम $\alpha^4 + \beta^4 + \gamma^4$ का मान ज्ञात करने के लिए पिछले चरण में प्राप्त अभिव्यक्तियों को जोड़ते हैं। हम पदों को समूहित करते हैं ताकि $\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3$ और $\alpha + \beta + \gamma$ के योग प्राप्त हों।

Step 6: $\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3$ का मान ज्ञात करें

पिछले चरण में हमने देखा कि $\alpha^3 = 3\alpha^2 - 4$ , $\beta^3 = 3\beta^2 - 4$ , और $\gamma^3 = 3\gamma^2 - 4$ । इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर, हमें $\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = 3(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2) - 4(1+1+1)$ मिलता है। हमने पहले ही $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 9$ और $\alpha + \beta + \gamma = 3$ ज्ञात कर लिया है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें $\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = 15$ मिलता है।

Step 7: अंतिम मान की गणना करें

अब हमारे पास $\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = 15$ और $\alpha + \beta + \gamma = 3$ के मान हैं। इन मानों को $\alpha^4 + \beta^4 + \gamma^4 = 3(\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3) - 4(\alpha + \beta + \gamma)$ में प्रतिस्थापित करने पर, हम अंतिम परिणाम प्राप्त करते हैं।

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