Given that α, β, γ are roots of x³ - 3x² + 4 = 0, find the value of α⁴ + β⁴ + γ⁴.
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Step-by-Step Solution
Step 1: मूलों और गुणांकों के बीच संबंध स्थापित करें
हम जानते हैं कि एक घन समीकरण ax3+bx2+cx+d=0 के मूलों α,β,γ और उसके गुणांकों के बीच निम्नलिखित संबंध होते हैं: α+β+γ=−b/a, αβ+βγ+γα=c/a, और αβγ=−d/a । दिए गए समीकरण x3−3x2+0x+4=0 के लिए, a=1,b=−3,c=0,d=4 है। इन मानों को प्रतिस्थापित करके, हम मूलों के योग, दो मूलों के गुणनफल के योग और तीनों मूलों के गुणनफल का मान ज्ञात करते हैं।
Step 2: α2+β2+γ2 का मान ज्ञात करें
हम जानते हैं कि (α+β+γ)2=α2+β2+γ2+2(αβ+βγ+γα) । इस सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करके, हम α2+β2+γ2 का मान ज्ञात कर सकते हैं। पिछले चरण से प्राप्त मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें α2+β2+γ2=9 मिलता है।
Step 3: प्रत्येक मूल समीकरण को संतुष्ट करता है
चूंकि α,β,γ समीकरण x3−3x2+4=0 के मूल हैं, इसलिए वे समीकरण को संतुष्ट करेंगे। इसका मतलब है कि जब हम x के स्थान पर α,β, या γ रखते हैं, तो समीकरण सत्य होता है। हम प्रत्येक मूल के लिए x3 को 3x2−4 के रूप में व्यक्त कर सकते हैं।
Step 4: प्रत्येक मूल की चौथी घात ज्ञात करें
पिछले चरण में हमने α3=3α2−4 प्राप्त किया था। अब, α4 ज्ञात करने के लिए, हम इस समीकरण को α से गुणा करते हैं। इसी तरह, हम β4 और γ4 के लिए भी करते हैं।
Step 5: α4+β4+γ4 का मान ज्ञात करें
अब हम α4+β4+γ4 का मान ज्ञात करने के लिए पिछले चरण में प्राप्त अभिव्यक्तियों को जोड़ते हैं। हम पदों को समूहित करते हैं ताकि α3+β3+γ3 और α+β+γ के योग प्राप्त हों।
Step 6: α3+β3+γ3 का मान ज्ञात करें
पिछले चरण में हमने देखा कि α3=3α2−4, β3=3β2−4, और γ3=3γ2−4 । इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर, हमें α3+β3+γ3=3(α2+β2+γ2)−4(1+1+1) मिलता है। हमने पहले ही α2+β2+γ2=9 और α+β+γ=3 ज्ञात कर लिया है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें α3+β3+γ3=15 मिलता है।
Step 7: अंतिम मान की गणना करें
अब हमारे पास α3+β3+γ3=15 और α+β+γ=3 के मान हैं। इन मानों को α4+β4+γ4=3(α3+β3+γ3)−4(α+β+γ) में प्रतिस्थापित करने पर, हम अंतिम परिणाम प्राप्त करते हैं।