How many terms of the G.P. 3,23,43,… are needed to give the sum5123069?
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Step-by-Step Solution
Step 1: गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम पद और सार्व अनुपात ज्ञात करें
दी गई गुणोत्तर श्रेणी (G.P.) 3,23,43,… से, हम प्रथम पद a और सार्व अनुपात r ज्ञात कर सकते हैं। प्रथम पद a=3 है। सार्व अनुपात r किसी भी पद को उसके पिछले पद से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है, इसलिए r=33/2=21 ।
Step 2: गुणोत्तर श्रेणी के n पदों के योग का सूत्र लिखें
गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग Sn ज्ञात करने का सूत्र है Sn=1−ra(1−rn), जहाँ a प्रथम पद है और r सार्व अनुपात है। यह सूत्र तब लागू होता है जब r<1 हो।
Step 3: दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें
हमें दिया गया है कि n पदों का योग Sn=5123069 है। अब हम a=3, r=21 और Sn=5123069 को योग के सूत्र में प्रतिस्थापित करेंगे।
Step 4: समीकरण को सरल करें और n के लिए हल करें
अब हम समीकरण को सरल करेंगे। पहले हर में 1−21=21 की गणना करें। फिर, 3 को 21 से विभाजित करने पर 6 प्राप्त होता है। इसके बाद, समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करके (1/2)n के लिए हल करें। हम पाते हैं कि (1/2)n=10241 । चूंकि 1024=210 है, इसलिए (1/2)n=(1/2)10 । आधार समान होने पर, घातांक भी समान होने चाहिए, जिससे n=10 प्राप्त होता है।