गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग S_n ज्ञात करने का सूत्र है S_n = (a(1 - r^n))/(1 - r), जहाँ a प्रथम पद है और r सार्व अनुपात है। यह सूत्र तब लागू होता है जब r < 1 हो।

गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग S_n ज्ञात करने का सूत्र है S_n = (a(1 - r^n))/(1 - r), जहाँ a प्रथम पद है और r सार्व अनुपात है। यह सूत्र तब लागू होता है जब r < 1 हो।

हमें दिया गया है कि n पदों का योग S_n = (3069)/(512) है। अब हम a=3, r=(1)/(2) और S_n = (3069)/(512) को योग के सूत्र में प्रतिस्थापित करेंगे।

हमें दिया गया है कि n पदों का योग S_n = (3069)/(512) है। अब हम a=3, r=(1)/(2) और S_n = (3069)/(512) को योग के सूत्र में प्रतिस्थापित करेंगे।

How many terms of the G.P. $3, \frac{3}{2}, \frac{3}{4}, \ldots$ are needed to give the $\operatorname{sum} \frac{3069}{512} ?$

Answer: गुणोत्तर श्रेणी के 10 पदों की आवश्यकता है।

Step-by-step solution

Step 1: गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम पद और सार्व अनुपात ज्ञात करें

दी गई गुणोत्तर श्रेणी (G.P.) $3, \frac{3}{2}, \frac{3}{4}, \ldots$ से, हम प्रथम पद $a$ और सार्व अनुपात $r$ ज्ञात कर सकते हैं। प्रथम पद $a = 3$ है। सार्व अनुपात $r$ किसी भी पद को उसके पिछले पद से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है, इसलिए $r = \frac{3/2}{3} = \frac{1}{2}$ ।

Step 2: गुणोत्तर श्रेणी के n पदों के योग का सूत्र लिखें

गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n$ ज्ञात करने का सूत्र है $S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ , जहाँ $a$ प्रथम पद है और $r$ सार्व अनुपात है। यह सूत्र तब लागू होता है जब $r < 1$ हो।

Step 3: दिए गए मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें

हमें दिया गया है कि $n$ पदों का योग $S_n = \frac{3069}{512}$ है। अब हम $a=3$ , $r=\frac{1}{2}$ और $S_n = \frac{3069}{512}$ को योग के सूत्र में प्रतिस्थापित करेंगे।

Step 4: समीकरण को सरल करें और $n$ के लिए हल करें

अब हम समीकरण को सरल करेंगे। पहले हर में $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ की गणना करें। फिर, $3$ को $\frac{1}{2}$ से विभाजित करने पर $6$ प्राप्त होता है। इसके बाद, समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करके $(1/2)^n$ के लिए हल करें। हम पाते हैं कि $(1/2)^n = \frac{1}{1024}$ । चूंकि $1024 = 2^{10}$ है, इसलिए $(1/2)^n = (1/2)^{10}$ । आधार समान होने पर, घातांक भी समान होने चाहिए, जिससे $n=10$ प्राप्त होता है।

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How many terms of the G.P. 3,32,34,…3, \frac{3}{2}, \frac{3}{4}, \ldots3,23​,43​,… are needed to give the sum⁡3069512?\operatorname{sum} \frac{3069}{512} ?sum5123069​?