हम समाकलन के रैखिक गुण का उपयोग करके स्थिरांक (1)/(2) को समाकलन चिह्न से बाहर निकाल सकते हैं।

हम समाकलन के रैखिक गुण का उपयोग करके स्थिरांक (1)/(2) को समाकलन चिह्न से बाहर निकाल सकते हैं।

अब, हम समाकलन को दो अलग-अलग समाकलनों में विभाजित करते हैं: ∫ 1 और ∫ cos 2x ।

हम जानते हैं कि ∫ 1 = x और ∫ cos 2x = (sin 2x)/(2) । समाकलन के बाद, हम समाकलन स्थिरांक C जोड़ते हैं।

हम जानते हैं कि ∫ 1 = x और ∫ cos 2x = (sin 2x)/(2) । समाकलन के बाद, हम समाकलन स्थिरांक C जोड़ते हैं।

निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए (i) $\int \cos^2 x \,dx$

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Step-by-Step Solution

Step 1: त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का प्रयोग करें

हम $\cos^2 x$ के समाकलन को सीधे हल नहीं कर सकते हैं, इसलिए हम इसे एक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करके सरल रूप में बदलेंगे। हम जानते हैं कि $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ , जिसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ प्राप्त होता है।

Step 2: अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करें

अब, हम मूल समाकलन में $\cos^2 x$ के स्थान पर प्राप्त सर्वसमिका को प्रतिस्थापित करेंगे। यह हमें एक ऐसा समाकलन देता है जिसे हल करना आसान है।

Step 3: समाकलन को अलग करें

हम समाकलन के रैखिक गुण का उपयोग करके स्थिरांक $\frac{1}{2}$ को समाकलन चिह्न से बाहर निकाल सकते हैं।

Step 4: प्रत्येक पद को समाकलित करें

अब, हम समाकलन को दो अलग-अलग समाकलनों में विभाजित करते हैं: $\int 1 \,dx$ और $\int \cos 2x \,dx$ ।

Step 5: समाकलन को हल करें

हम जानते हैं कि $\int 1 \,dx = x$ और $\int \cos 2x \,dx = \frac{\sin 2x}{2}$ । समाकलन के बाद, हम समाकलन स्थिरांक $C$ जोड़ते हैं।

Step 6: परिणाम को सरल करें

अंत में, हम $\frac{1}{2}$ को कोष्ठक के अंदर के पदों से गुणा करके परिणाम को सरल करते हैं।