अब हम n=15 को सूत्र में प्रतिस्थापित करेंगे। इससे हमें 15² 2814 प्राप्त होता है।

लेजेंड्रे के सूत्र का उपयोग करके, हम 28! और 14! में 2, 3 और 5 के घातों की गणना करते हैं। फिर हम कुल घातों को ज्ञात करने के लिए उन्हें संयोजित करते हैं। v_p(n!) का अर्थ है n! में अभाज्य संख्या p का उच्चतम घात। v_2(28!) = (28)/(2) + (28)/(4) + (28)/(8) + (28)/(16) = 14 + 7 + 3 + 1 = 25 v_2(14!) = (14)/(2) + (14)/(4) + (14)/(8) = 7 + 3 + 1 = 11 v_3(28!) = (28)/(3) + (28)/(9) + (28)/(27) = 9 + 3 + 1 = 13 v_3(14!) = (14)/(3) + (14)/(9) = 4 + 1 = 5 v_5(28!) = (28)/(5) + (28)/(25) = 5 + 1 = 6 v_5(14!) = (14)/(5) = 2 इसलिए, m = v_2(15² 2814) = v_2(15²) + v_2( 2814)) = 0 + (25 - 2 × 11) = 25 - 22 = 3 n = v_3(15² 2814) = v_3(15²) + v_3( 2814)) = 2 + (13 - 2 × 5) = 2 + (13 - 10) = 2 + 3 = 5 k = v_5(15² 2814) = v_5(15²) + v_5( 2814)) = 2 + (6 - 2 × 2) = 2 + (6 - 4) = 2 + 2 = 4

लेजेंड्रे के सूत्र का उपयोग करके, हम 28! और 14! में 2, 3 और 5 के घातों की गणना करते हैं। फिर हम कुल घातों को ज्ञात करने के लिए उन्हें संयोजित करते हैं। v_p(n!) का अर्थ है n! में अभाज्य संख्या p का उच्चतम घात। v_2(28!) = (28)/(2) + (28)/(4) + (28)/(8) + (28)/(16) = 14 + 7 + 3 + 1 = 25 v_2(14!) = (14)/(2) + (14)/(4) + (14)/(8) = 7 + 3 + 1 = 11 v_3(28!) = (28)/(3) + (28)/(9) + (28)/(27) = 9 + 3 + 1 = 13 v_3(14!) = (14)/(3) + (14)/(9) = 4 + 1 = 5 v_5(28!) = (28)/(5) + (28)/(25) = 5 + 1 = 6 v_5(14!) = (14)/(5) = 2 इसलिए, m = v_2(15² 2814) = v_2(15²) + v_2( 2814)) = 0 + (25 - 2 × 11) = 25 - 22 = 3 n = v_3(15² 2814) = v_3(15²) + v_3( 2814)) = 2 + (13 - 2 × 5) = 2 + (13 - 10) = 2 + 3 = 5 k = v_5(15² 2814) = v_5(15²) + v_5( 2814)) = 2 + (6 - 2 × 2) = 2 + (6 - 4) = 2 + 2 = 4

If $1^2\binom{15}{1}^2 + 2^2\binom{15}{2}^2 + 3^2\binom{15}{3}^2 + \dots + 15^2\binom{15}{15}^2 = 2^m\,3^n\,5^k$ , where $m,n,k$ are positive integers, then $m + n + k$ is equal to:

Answer: 12

Step-by-step solution

Step 1: व्यंजक को सरल करें

हमें दिए गए व्यंजक का मान ज्ञात करना है। यह व्यंजक एक विशेष प्रकार की श्रृंखला है। हम जानते हैं कि इस प्रकार की श्रृंखला का योगफल एक सूत्र द्वारा दिया जाता है। यहाँ $n=15$ है।

Step 2: सूत्र में मान प्रतिस्थापित करें

अब हम $n=15$ को सूत्र में प्रतिस्थापित करेंगे। इससे हमें $15^2 \binom{28}{14}$ प्राप्त होता है।

Step 3: द्विपद गुणांक का विस्तार करें

द्विपद गुणांक $\binom{n}{r}$ को $\frac{n!}{r!(n-r)!}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है। इस परिभाषा का उपयोग करके, हम $\binom{28}{14}$ का विस्तार करते हैं।

Step 4: व्यंजक का मान ज्ञात करें

हम $15^2$ को $3^2 \times 5^2$ के रूप में लिख सकते हैं। अब हमें $28!$ और $14!$ में 2, 3 और 5 के उच्चतम घातों को ज्ञात करना होगा। लेजेंड्रे के सूत्र का उपयोग करके, हम किसी भी अभाज्य संख्या $p$ के लिए $n!$ में $p$ के उच्चतम घात को $\sum_{i=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^i} \rfloor$ के रूप में ज्ञात कर सकते हैं।

Step 5: अभाज्य गुणनखंडों के घातों की गणना करें

लेजेंड्रे के सूत्र का उपयोग करके, हम $28!$ और $14!$ में 2, 3 और 5 के घातों की गणना करते हैं। फिर हम कुल घातों को ज्ञात करने के लिए उन्हें संयोजित करते हैं। $v_p(n!)$ का अर्थ है $n!$ में अभाज्य संख्या $p$ का उच्चतम घात। $v_2(28!) = \lfloor\frac{28}{2}\rfloor + \lfloor\frac{28}{4}\rfloor + \lfloor\frac{28}{8}\rfloor + \lfloor\frac{28}{16}\rfloor = 14 + 7 + 3 + 1 = 25$ $v_2(14!) = \lfloor\frac{14}{2}\rfloor + \lfloor\frac{14}{4}\rfloor + \lfloor\frac{14}{8}\rfloor = 7 + 3 + 1 = 11$ $v_3(28!) = \lfloor\frac{28}{3}\rfloor + \lfloor\frac{28}{9}\rfloor + \lfloor\frac{28}{27}\rfloor = 9 + 3 + 1 = 13$ $v_3(14!) = \lfloor\frac{14}{3}\rfloor + \lfloor\frac{14}{9}\rfloor = 4 + 1 = 5$ $v_5(28!) = \lfloor\frac{28}{5}\rfloor + \lfloor\frac{28}{25}\rfloor = 5 + 1 = 6$ $v_5(14!) = \lfloor\frac{14}{5}\rfloor = 2$ इसलिए, $m = v_2(15^2 \binom{28}{14}) = v_2(15^2) + v_2(\binom{28}{14})) = 0 + (25 - 2 \times 11) = 25 - 22 = 3$ $n = v_3(15^2 \binom{28}{14}) = v_3(15^2) + v_3(\binom{28}{14})) = 2 + (13 - 2 \times 5) = 2 + (13 - 10) = 2 + 3 = 5$ $k = v_5(15^2 \binom{28}{14}) = v_5(15^2) + v_5(\binom{28}{14})) = 2 + (6 - 2 \times 2) = 2 + (6 - 4) = 2 + 2 = 4$

Step 6: m + n + k का मान ज्ञात करें

अब हम $m, n$ और $k$ के मानों को जोड़ते हैं ताकि अंतिम उत्तर प्राप्त हो सके।

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