If 24∫0π4(sin⁡∣4x−π12∣+∣2sin⁡x∣)dx=2π+α24 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \left(\sin \left|4x - \frac{\pi}{12}\right| + |2 \sin x|\right) dx = 2\pi + \alpha, where [⋅][\cdot] denotes the greatest integer function, then α\alpha is equal to:

Answer: 63−3(6+2)2−242−2π63 - \frac{3(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} - 24\sqrt{2} - 2\pi

Step-by-step solution

Step 1: अभिन्न को दो भागों में विभाजित करें

दिए गए अभिन्न को दो अलग-अलग अभिन्न में विभाजित करते हैं ताकि प्रत्येक भाग को अलग से हल किया जा सके। यह गणना को सरल बनाता है।

Step 2: पहले अभिन्न का मूल्यांकन करें

पहले अभिन्न के लिए, हम निरपेक्ष मान फलन को हटाते हैं। चूंकि 4x−π124x - \frac{\pi}{12} अंतराल [0,π12][0, \frac{\pi}{12}] में ऋणात्मक है और अंतराल [π12,π4][\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{4}] में धनात्मक है, हम अभिन्न को दो भागों में विभाजित करते हैं।

Step 3: पहले अभिन्न को हल करें

अब हम प्रत्येक भाग का समाकलन करते हैं और सीमाओं को लागू करते हैं। cos⁡(2π3)=−12\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} का उपयोग करके, हम पहले अभिन्न का मान प्राप्त करते हैं।

Step 4: दूसरे अभिन्न का मूल्यांकन करें

दूसरे अभिन्न के लिए, अंतराल [0,π4][0, \frac{\pi}{4}] में sin⁡x\sin x धनात्मक है, इसलिए ∣2sin⁡x∣=2sin⁡x|2 \sin x| = 2 \sin x । हम इसका समाकलन करते हैं और सीमाओं को लागू करते हैं।

Step 5: कुल अभिन्न का मूल्यांकन करें

अब हम दोनों अभिन्न के परिणामों को जोड़ते हैं और इसे 2424 से गुणा करते हैं।

Step 6: α\alpha का मान ज्ञात करें

दिए गए समीकरण से, हम α\alpha के लिए हल करते हैं। cos⁡π12=cos⁡(15∘)=cos⁡(45∘−30∘)=cos⁡45∘cos⁡30∘+sin⁡45∘sin⁡30∘=1232+1212=3+122\cos\frac{\pi}{12} = \cos(15^\circ) = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}} ।

Step 7: α\alpha का अंतिम मान

cos⁡π12\cos\frac{\pi}{12} के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें α\alpha का अंतिम मान प्राप्त होता है।

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