If 24∫04π(sin4x−12π+∣2sinx∣)dx=2π+α, where [⋅] denotes the greatest integer function, then α is equal to:
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Step-by-Step Solution
Step 1: अभिन्न को दो भागों में विभाजित करें
दिए गए अभिन्न को दो अलग-अलग अभिन्न में विभाजित करते हैं ताकि प्रत्येक भाग को अलग से हल किया जा सके। यह गणना को सरल बनाता है।
Step 2: पहले अभिन्न का मूल्यांकन करें
पहले अभिन्न के लिए, हम निरपेक्ष मान फलन को हटाते हैं। चूंकि 4x−12π अंतराल [0,12π] में ऋणात्मक है और अंतराल [12π,4π] में धनात्मक है, हम अभिन्न को दो भागों में विभाजित करते हैं।
Step 3: पहले अभिन्न को हल करें
अब हम प्रत्येक भाग का समाकलन करते हैं और सीमाओं को लागू करते हैं। cos(32π)=−21 का उपयोग करके, हम पहले अभिन्न का मान प्राप्त करते हैं।
Step 4: दूसरे अभिन्न का मूल्यांकन करें
दूसरे अभिन्न के लिए, अंतराल [0,4π] में sinx धनात्मक है, इसलिए ∣2sinx∣=2sinx । हम इसका समाकलन करते हैं और सीमाओं को लागू करते हैं।
Step 5: कुल अभिन्न का मूल्यांकन करें
अब हम दोनों अभिन्न के परिणामों को जोड़ते हैं और इसे 24 से गुणा करते हैं।
Step 6: α का मान ज्ञात करें
दिए गए समीकरण से, हम α के लिए हल करते हैं। cos12π=cos(15∘)=cos(45∘−30∘)=cos45∘cos30∘+sin45∘sin30∘=2123+2121=223+1 ।
Step 7: α का अंतिम मान
cos12π के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें α का अंतिम मान प्राप्त होता है।