दिए गए व्यंजक को पूर्ण वर्ग के योग के रूप में पुनर्गठित किया जा सकता है। हम जानते हैं कि (x-y)² = x² - 2xy + y² होता है। इस पहचान का उपयोग करके, हम दिए गए असमानता को तीन पूर्ण वर्गों के योग के रूप में लिख सकते हैं।

दिए गए व्यंजक को पूर्ण वर्ग के योग के रूप में पुनर्गठित किया जा सकता है। हम जानते हैं कि (x-y)² = x² - 2xy + y² होता है। इस पहचान का उपयोग करके, हम दिए गए असमानता को तीन पूर्ण वर्गों के योग के रूप में लिख सकते हैं।

If $a, b, c, d$ and $p$ are different real numbers such that $\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) p^{2}-2(a b+b c+c d) p+\left(b^{2}+c^{2}+d^{2}\right) \leq 0$ , then show that $a, b, c$ and $d$ are in G.P.

Answer: चूंकि लगातार पदों का अनुपात स्थिर है, इसलिए $a, b, c$ और $d$ गुणोत्तर श्रेणी (G.P.) में हैं।

Step-by-step solution

Step 1: व्यंजक को पूर्ण वर्ग के रूप में पुनर्गठित करना

दिए गए व्यंजक को पूर्ण वर्ग के योग के रूप में पुनर्गठित किया जा सकता है। हम जानते हैं कि $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ होता है। इस पहचान का उपयोग करके, हम दिए गए असमानता को तीन पूर्ण वर्गों के योग के रूप में लिख सकते हैं।

Step 2: असमानता का विश्लेषण

चूंकि वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग कभी भी ऋणात्मक नहीं हो सकता है, और यह दिया गया है कि योग शून्य से कम या उसके बराबर है, तो इसका एकमात्र संभावित परिणाम यह है कि योग शून्य के बराबर होना चाहिए।

Step 3: प्रत्येक पद को शून्य के बराबर करना

यदि वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग शून्य है, तो प्रत्येक व्यक्तिगत वर्ग पद शून्य के बराबर होना चाहिए। इससे हमें $p$ के लिए तीन समीकरण मिलते हैं।

Step 4: सामान्य अनुपात ज्ञात करना

प्रत्येक समीकरण से, हम $p$ के लिए एक व्यंजक प्राप्त करते हैं। यह दर्शाता है कि $b/a$ , $c/b$ , और $d/c$ सभी $p$ के बराबर हैं।

Step 5: गुणोत्तर श्रेणी की परिभाषा

चूंकि लगातार पदों का अनुपात स्थिर है और $p$ के बराबर है, इसलिए $a, b, c$ और $d$ गुणोत्तर श्रेणी (G.P.) में हैं, जहाँ $p$ सामान्य अनुपात है।

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