If a curve y=y(x) passes through the point (1,2π) and satisfies the differential equation (7x4coty−excscy)dydx=x5, x≥1, then at x=2, the value of cosy is:
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Step-by-Step Solution
Step 1: अवकल समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें
दिए गए अवकल समीकरण को dxdy के रूप में पुनर्व्यवस्थित करके प्रारंभ करते हैं। यह हमें समीकरण को हल करने के लिए एक मानक रूप में लाने में मदद करेगा।
Step 2: समीकरण को रैखिक रूप में बदलें
समीकरण को सरल बनाने के लिए, हम cscy=siny1 और coty=sinycosy का उपयोग करते हैं। फिर, हम समीकरण को siny से गुणा करते हैं और इसे इस तरह से पुनर्व्यवस्थित करते हैं कि यह रैखिक अवकल समीकरण के रूप में दिखे।
Step 3: प्रतिस्थापन का उपयोग करें
हम cosy=z प्रतिस्थापन का उपयोग करते हैं। इससे dxdz=−sinydxdy प्राप्त होता है। इस प्रतिस्थापन से समीकरण एक रैखिक अवकल समीकरण में बदल जाएगा जिसे हल करना आसान है।
Step 4: रैखिक अवकल समीकरण को हल करें
प्रतिस्थापन के बाद, समीकरण dxdz+P(x)z=Q(x) के रूप में एक रैखिक अवकल समीकरण बन जाता है, जहाँ P(x)=x7 और Q(x)=x5ex । हम समाकलन गुणक I.F.=e∫P(x)dx का उपयोग करके इसे हल करते हैं।
Step 5: समाकलन गुणक और सामान्य हल ज्ञात करें
समाकलन गुणक x7 है। अब हम सामान्य हल z⋅I.F.=∫Q(x)⋅I.F.dx ज्ञात करते हैं। दाहिने हाथ के पक्ष को हल करने के लिए आंशिक समाकलन का उपयोग किया जाता है।
Step 6: आंशिक समाकलन और स्थिरांक ज्ञात करें
आंशिक समाकलन का उपयोग करके ∫x2exdx=x2ex−2xex+2ex प्राप्त होता है। अब हम दिए गए बिंदु (1,2π) का उपयोग करके स्थिरांक C का मान ज्ञात करते हैं।
Step 7: C का मान ज्ञात करें और x=2 पर cosy का मान ज्ञात करें
बिंदु (1,2π) को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें C=−e मिलता है। अब, x=2 पर cosy का मान ज्ञात करने के लिए, हम x=2 और C=−e को सामान्य हल में प्रतिस्थापित करते हैं।