हम cos y = z प्रतिस्थापन का उपयोग करते हैं। इससे (dz)/(dx) = -sin y (dy)/(dx) प्राप्त होता है। इस प्रतिस्थापन से समीकरण एक रैखिक अवकल समीकरण में बदल जाएगा जिसे हल करना आसान है।

हम cos y = z प्रतिस्थापन का उपयोग करते हैं। इससे (dz)/(dx) = -sin y (dy)/(dx) प्राप्त होता है। इस प्रतिस्थापन से समीकरण एक रैखिक अवकल समीकरण में बदल जाएगा जिसे हल करना आसान है।

प्रतिस्थापन के बाद, समीकरण (dz)/(dx) + P(x)z = Q(x) के रूप में एक रैखिक अवकल समीकरण बन जाता है, जहाँ P(x) = (7)/(x) और Q(x) = (e^x)/(x^5)। हम समाकलन गुणक I.F. = e^(∫ P(x)dx) का उपयोग करके इसे हल करते हैं।

प्रतिस्थापन के बाद, समीकरण (dz)/(dx) + P(x)z = Q(x) के रूप में एक रैखिक अवकल समीकरण बन जाता है, जहाँ P(x) = (7)/(x) और Q(x) = (e^x)/(x^5)। हम समाकलन गुणक I.F. = e^(∫ P(x)dx) का उपयोग करके इसे हल करते हैं।

समाकलन गुणक x^7 है। अब हम सामान्य हल z · I.F. = ∫ Q(x) · I.F. dx ज्ञात करते हैं। दाहिने हाथ के पक्ष को हल करने के लिए आंशिक समाकलन का उपयोग किया जाता है।

समाकलन गुणक x^7 है। अब हम सामान्य हल z · I.F. = ∫ Q(x) · I.F. dx ज्ञात करते हैं। दाहिने हाथ के पक्ष को हल करने के लिए आंशिक समाकलन का उपयोग किया जाता है।

आंशिक समाकलन का उपयोग करके ∫ x² e^x dx = x² e^x - 2xe^x + 2e^x प्राप्त होता है। अब हम दिए गए बिंदु (1, (π)/(2)) का उपयोग करके स्थिरांक C का मान ज्ञात करते हैं।

आंशिक समाकलन का उपयोग करके ∫ x² e^x dx = x² e^x - 2xe^x + 2e^x प्राप्त होता है। अब हम दिए गए बिंदु (1, (π)/(2)) का उपयोग करके स्थिरांक C का मान ज्ञात करते हैं।

If a curve $y=y(x)$ passes through the point $(1,\tfrac{\pi}{2})$ and satisfies the differential equation $\bigl(7x^4\cot y - e^x\csc y\bigr)\frac{dx}{dy} = x^5$ , $x\ge1$ , then at $x=2$ , the value of $\cos y$ is:

Answer: $\frac{2e^2 - e}{128}$

Step-by-step solution

Step 1: अवकल समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें

दिए गए अवकल समीकरण को $\frac{dy}{dx}$ के रूप में पुनर्व्यवस्थित करके प्रारंभ करते हैं। यह हमें समीकरण को हल करने के लिए एक मानक रूप में लाने में मदद करेगा।

Step 2: समीकरण को रैखिक रूप में बदलें

समीकरण को सरल बनाने के लिए, हम $\csc y = \frac{1}{\sin y}$ और $\cot y = \frac{\cos y}{\sin y}$ का उपयोग करते हैं। फिर, हम समीकरण को $\sin y$ से गुणा करते हैं और इसे इस तरह से पुनर्व्यवस्थित करते हैं कि यह रैखिक अवकल समीकरण के रूप में दिखे।

Step 3: प्रतिस्थापन का उपयोग करें

हम $\cos y = z$ प्रतिस्थापन का उपयोग करते हैं। इससे $\frac{dz}{dx} = -\sin y \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है। इस प्रतिस्थापन से समीकरण एक रैखिक अवकल समीकरण में बदल जाएगा जिसे हल करना आसान है।

Step 4: रैखिक अवकल समीकरण को हल करें

प्रतिस्थापन के बाद, समीकरण $\frac{dz}{dx} + P(x)z = Q(x)$ के रूप में एक रैखिक अवकल समीकरण बन जाता है, जहाँ $P(x) = \frac{7}{x}$ और $Q(x) = \frac{e^x}{x^5}$ । हम समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int P(x)dx}$ का उपयोग करके इसे हल करते हैं।

Step 5: समाकलन गुणक और सामान्य हल ज्ञात करें

समाकलन गुणक $x^7$ है। अब हम सामान्य हल $z \cdot I.F. = \int Q(x) \cdot I.F. dx$ ज्ञात करते हैं। दाहिने हाथ के पक्ष को हल करने के लिए आंशिक समाकलन का उपयोग किया जाता है।

Step 6: आंशिक समाकलन और स्थिरांक ज्ञात करें

आंशिक समाकलन का उपयोग करके $\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - 2xe^x + 2e^x$ प्राप्त होता है। अब हम दिए गए बिंदु $(1, \frac{\pi}{2})$ का उपयोग करके स्थिरांक $C$ का मान ज्ञात करते हैं।

Step 7: C का मान ज्ञात करें और $x=2$ पर $\cos y$ का मान ज्ञात करें

बिंदु $(1, \frac{\pi}{2})$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें $C = -e$ मिलता है। अब, $x=2$ पर $\cos y$ का मान ज्ञात करने के लिए, हम $x=2$ और $C=-e$ को सामान्य हल में प्रतिस्थापित करते हैं।

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