और 'P' से शुरू होने वाले भी 120 शब्द हैं। अब तक कुल शब्द: 120 + 120 + 120 + 120 = 480 शब्द। चूंकि 440^(th) शब्द 480 से कम है, इसका मतलब है कि 440^(th) शब्द 'P' से शुरू होने वाले शब्दों में होगा।

और 'P' से शुरू होने वाले भी 120 शब्द हैं। अब तक कुल शब्द: 120 + 120 + 120 + 120 = 480 शब्द। चूंकि 440^(th) शब्द 480 से कम है, इसका मतलब है कि 440^(th) शब्द 'P' से शुरू होने वाले शब्दों में होगा।

पहले तीन अक्षरों (A, K, N) से शुरू होने वाले शब्दों की संख्या 3 × 120 = 360 है। अब हम 'P' से शुरू होने वाले शब्दों को देखेंगे। 'P' के बाद वर्णानुक्रम में अगला अक्षर 'A' है। 'PA' से शुरू होने वाले शब्द 4! = 24 हैं। (कुल 360 + 24 = 384) 'P' के बाद 'K' है। 'PK' से शुरू होने वाले शब्द 4! = 24 हैं। (कुल 384 + 24 = 408) 'P' के बाद 'N' है। 'PN' से शुरू होने वाले शब्द 4! = 24 हैं। (कुल 408 + 24 = 432) चूंकि 440^(th) शब्द 432 से अधिक है, यह 'PR' से शुरू होने वाले शब्दों में होगा। 'PR' से शुरू होने वाले शब्दों में, हमें 440 - 432 = 8^(th) शब्द खोजना है। 'PR' के बाद शेष अक्षर वर्णानुक्रम में A, K, N, U हैं। 'PRA' से शुरू होने वाले शब्द 3! = 6 हैं। (कुल 432 + 6 = 438) चूंकि 440^(th) शब्द 438 से अधिक है, यह 'PRK' से शुरू होने वाले शब्दों में होगा। 'PRK' से शुरू होने वाले शब्दों में, हमें 440 - 438 = 2^(nd) शब्द खोजना है। 'PRK' के बाद शेष अक्षर वर्णानुक्रम में A, N, U हैं। 'PRKA' से शुरू होने वाले शब्द 2! = 2 हैं। 'PRKA' से शुरू होने वाले शब्द हैं: 1. PRKANU (यह 438 + 1 = 439^(th) शब्द है) 2. PRKAUN (यह 438 + 2 = 440^(th) शब्द है)

पहले तीन अक्षरों (A, K, N) से शुरू होने वाले शब्दों की संख्या 3 × 120 = 360 है। अब हम 'P' से शुरू होने वाले शब्दों को देखेंगे। 'P' के बाद वर्णानुक्रम में अगला अक्षर 'A' है। 'PA' से शुरू होने वाले शब्द 4! = 24 हैं। (कुल 360 + 24 = 384) 'P' के बाद 'K' है। 'PK' से शुरू होने वाले शब्द 4! = 24 हैं। (कुल 384 + 24 = 408) 'P' के बाद 'N' है। 'PN' से शुरू होने वाले शब्द 4! = 24 हैं। (कुल 408 + 24 = 432) चूंकि 440^(th) शब्द 432 से अधिक है, यह 'PR' से शुरू होने वाले शब्दों में होगा। 'PR' से शुरू होने वाले शब्दों में, हमें 440 - 432 = 8^(th) शब्द खोजना है। 'PR' के बाद शेष अक्षर वर्णानुक्रम में A, K, N, U हैं। 'PRA' से शुरू होने वाले शब्द 3! = 6 हैं। (कुल 432 + 6 = 438) चूंकि 440^(th) शब्द 438 से अधिक है, यह 'PRK' से शुरू होने वाले शब्दों में होगा। 'PRK' से शुरू होने वाले शब्दों में, हमें 440 - 438 = 2^(nd) शब्द खोजना है। 'PRK' के बाद शेष अक्षर वर्णानुक्रम में A, N, U हैं। 'PRKA' से शुरू होने वाले शब्द 2! = 2 हैं। 'PRKA' से शुरू होने वाले शब्द हैं: 1. PRKANU (यह 438 + 1 = 439^(th) शब्द है) 2. PRKAUN (यह 438 + 2 = 440^(th) शब्द है)

If all the words with or without meaning made using all the letters of the word 'KANPUR' are arranged as in a dictionary, then the word at $440^{\text{th}}$ position in this arrangement is:

Answer: PRKAUN

Step-by-step solution

Step 1: शब्द 'KANPUR' के अक्षरों की संख्या ज्ञात करना

शब्द 'KANPUR' में 6 अलग-अलग अक्षर हैं: K, A, N, P, U, R। जब इन अक्षरों को व्यवस्थित किया जाता है, तो कुल $6!$ शब्द बनते हैं।

Step 2: अक्षरों को वर्णानुक्रम में व्यवस्थित करना

शब्दों को शब्दकोश के अनुसार व्यवस्थित करने के लिए, हमें पहले अक्षरों को वर्णानुक्रम में रखना होगा। 'KANPUR' के अक्षर वर्णानुक्रम में A, K, N, P, R, U हैं।

Step 3: पहले अक्षर 'A' से शुरू होने वाले शब्दों की संख्या

यदि पहला अक्षर 'A' है, तो शेष 5 अक्षरों (K, N, P, R, U) को $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। इसलिए, 'A' से शुरू होने वाले 120 शब्द हैं।

Step 4: पहले अक्षर 'K' से शुरू होने वाले शब्दों की संख्या

इसी प्रकार, 'K' से शुरू होने वाले 120 शब्द हैं।

Step 5: पहले अक्षर 'N' से शुरू होने वाले शब्दों की संख्या

और 'N' से शुरू होने वाले भी 120 शब्द हैं।

Step 6: पहले अक्षर 'P' से शुरू होने वाले शब्दों की संख्या

और 'P' से शुरू होने वाले भी 120 शब्द हैं। अब तक कुल शब्द: $120 + 120 + 120 + 120 = 480$ शब्द। चूंकि $440^{\text{th}}$ शब्द 480 से कम है, इसका मतलब है कि $440^{\text{th}}$ शब्द 'P' से शुरू होने वाले शब्दों में होगा।

Step 7: 440वें शब्द का निर्धारण

पहले तीन अक्षरों (A, K, N) से शुरू होने वाले शब्दों की संख्या $3 \times 120 = 360$ है। अब हम 'P' से शुरू होने वाले शब्दों को देखेंगे। 'P' के बाद वर्णानुक्रम में अगला अक्षर 'A' है। 'PA' से शुरू होने वाले शब्द $4! = 24$ हैं। (कुल $360 + 24 = 384$ ) 'P' के बाद 'K' है। 'PK' से शुरू होने वाले शब्द $4! = 24$ हैं। (कुल $384 + 24 = 408$ ) 'P' के बाद 'N' है। 'PN' से शुरू होने वाले शब्द $4! = 24$ हैं। (कुल $408 + 24 = 432$ ) चूंकि $440^{\text{th}}$ शब्द 432 से अधिक है, यह 'PR' से शुरू होने वाले शब्दों में होगा। 'PR' से शुरू होने वाले शब्दों में, हमें $440 - 432 = 8^{\text{th}}$ शब्द खोजना है। 'PR' के बाद शेष अक्षर वर्णानुक्रम में A, K, N, U हैं। 'PRA' से शुरू होने वाले शब्द $3! = 6$ हैं। (कुल $432 + 6 = 438$ ) चूंकि $440^{\text{th}}$ शब्द 438 से अधिक है, यह 'PRK' से शुरू होने वाले शब्दों में होगा। 'PRK' से शुरू होने वाले शब्दों में, हमें $440 - 438 = 2^{\text{nd}}$ शब्द खोजना है। 'PRK' के बाद शेष अक्षर वर्णानुक्रम में A, N, U हैं। 'PRKA' से शुरू होने वाले शब्द $2! = 2$ हैं। 'PRKA' से शुरू होने वाले शब्द हैं: 1. PRKANU (यह $438 + 1 = 439^{\text{th}}$ शब्द है) 2. PRKAUN (यह $438 + 2 = 440^{\text{th}}$ शब्द है)

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If all the words with or without meaning made using all the letters of the word 'KANPUR' are arranged as in a dictionary, then the word at 440th440^{\text{th}}440th position in this arrangement is: