If α=1+∑r=16(−3)r−112C2r−1, then the distance of the point (12,3) from the line αx−3y+1=0 is
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Step-by-Step Solution
Step 1: द्विपद प्रमेय का उपयोग करके α का मान ज्ञात करना
हम द्विपद प्रमेय का उपयोग करके α का मान ज्ञात करेंगे। द्विपद प्रमेय के अनुसार, (1+x)n और (1−x)n के विस्तार को घटाने पर हमें विषम घातों वाले पदों का योग मिलता है।
Step 2: योग को सरल बनाना
दिए गए योग को विस्तारित करने पर, हम देखते हैं कि यह द्विपद विस्तार के विषम पदों के समान है, जहाँ n=12 और x=3 ।
Step 3: द्विपद विस्तार का उपयोग करके α का मान ज्ञात करना
हम 1+i3 और 1−i3 को ध्रुवीय रूप में परिवर्तित करते हैं। 1+i3=2(21+i23)=2eiπ/3 और 1−i3=2e−iπ/3 । इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं कि योग शून्य हो जाता है, जिससे α=1 प्राप्त होता है।
Step 4: बिंदु से रेखा की दूरी ज्ञात करना
अब जब हमने α=1 ज्ञात कर लिया है, तो रेखा का समीकरण x−3y+1=0 हो जाता है। बिंदु (x1,y1) से रेखा Ax+By+C=0 की दूरी का सूत्र d=A2+B2∣Ax1+By1+C∣ है। इस सूत्र का उपयोग करके, हम बिंदु (12,3) से रेखा की दूरी ज्ञात करते हैं।