हम 1+i√3 और 1-i√3 को ध्रुवीय रूप में परिवर्तित करते हैं। 1+i√3 = 2((1)/(2) + i(√3)/(2)) = 2e^(iπ/3) और 1-i√3 = 2e^(-iπ/3)। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं कि योग शून्य हो जाता है, जिससे α = 1 प्राप्त होता है।

हम 1+i√3 और 1-i√3 को ध्रुवीय रूप में परिवर्तित करते हैं। 1+i√3 = 2((1)/(2) + i(√3)/(2)) = 2e^(iπ/3) और 1-i√3 = 2e^(-iπ/3)। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं कि योग शून्य हो जाता है, जिससे α = 1 प्राप्त होता है।

अब जब हमने α = 1 ज्ञात कर लिया है, तो रेखा का समीकरण x - √3y + 1 = 0 हो जाता है। बिंदु (x_1, y_1) से रेखा Ax + By + C = 0 की दूरी का सूत्र d = (|Ax_1 + By_1 + C|)/(√(A² + B²)) है। इस सूत्र का उपयोग करके, हम बिंदु (12, √3) से रेखा की दूरी ज्ञात करते हैं।

अब जब हमने α = 1 ज्ञात कर लिया है, तो रेखा का समीकरण x - √3y + 1 = 0 हो जाता है। बिंदु (x_1, y_1) से रेखा Ax + By + C = 0 की दूरी का सूत्र d = (|Ax_1 + By_1 + C|)/(√(A² + B²)) है। इस सूत्र का उपयोग करके, हम बिंदु (12, √3) से रेखा की दूरी ज्ञात करते हैं।

If $\alpha = 1 + \sum_{r=1}^6 (-3)^{r-1} {}^{12}C_{2r-1}$ , then the distance of the point $(12, \sqrt{3})$ from the line $\alpha x - \sqrt{3} y + 1 = 0$ is

Answer: 5

Step-by-step solution

Step 1: द्विपद प्रमेय का उपयोग करके $\alpha$ का मान ज्ञात करना

हम द्विपद प्रमेय का उपयोग करके $\alpha$ का मान ज्ञात करेंगे। द्विपद प्रमेय के अनुसार, $(1+x)^n$ और $(1-x)^n$ के विस्तार को घटाने पर हमें विषम घातों वाले पदों का योग मिलता है।

Step 2: योग को सरल बनाना

दिए गए योग को विस्तारित करने पर, हम देखते हैं कि यह द्विपद विस्तार के विषम पदों के समान है, जहाँ $n=12$ और $x = \sqrt{3}$ ।

Step 3: द्विपद विस्तार का उपयोग करके $\alpha$ का मान ज्ञात करना

हम $1+i\sqrt{3}$ और $1-i\sqrt{3}$ को ध्रुवीय रूप में परिवर्तित करते हैं। $1+i\sqrt{3} = 2(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2e^{i\pi/3}$ और $1-i\sqrt{3} = 2e^{-i\pi/3}$ । इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं कि योग शून्य हो जाता है, जिससे $\alpha = 1$ प्राप्त होता है।

Step 4: बिंदु से रेखा की दूरी ज्ञात करना

अब जब हमने $\alpha = 1$ ज्ञात कर लिया है, तो रेखा का समीकरण $x - \sqrt{3}y + 1 = 0$ हो जाता है। बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की दूरी का सूत्र $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ है। इस सूत्र का उपयोग करके, हम बिंदु $(12, \sqrt{3})$ से रेखा की दूरी ज्ञात करते हैं।

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If α=1+∑r=16(−3)r−112C2r−1\alpha = 1 + \sum_{r=1}^6 (-3)^{r-1} {}^{12}C_{2r-1}α=1+∑r=16​(−3)r−112C2r−1​, then the distance of the point (12,3)(12, \sqrt{3})(12,3​) from the line αx−3y+1=0\alpha x - \sqrt{3} y + 1 = 0αx−3​y+1=0 is